Сеток метод это:

Сеток метод
        собирательное название группы приближённых методов решения дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Применительно к дифференциальным уравнениям с частными производными термин «С. м.» используется в качестве синонима терминов «метод конечных разностей» и «разностный метод». С, м. — один из наиболее распространённых приближённых методов решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями. Широкое применение С. м. объясняется его большой универсальностью и сравнительной простотой реализации на ЭВМ.
         Суть С. м. состоит в следующем: область непрерывного изменения аргументов, в которой ищется решение уравнения, дополненного, если необходимо, краевыми и начальными условиями, заменяется дискретным множеством точек (узлов), называемым сеткой; вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определяемые в узлах сетки и называемые сеточными функциями; производные, входящие в уравнение, краевые и начальные условия, аппроксимируются разностными отношениями; интегралы аппроксимируются квадратурными формулами; при этом исходное уравнение (задача) заменяется системой (линейных, если исходная задача была линейной) алгебраических уравнений (системой сеточных уравнений, а применительно к дифференциальным уравнениям — разностной схемой).
         Если полученная таким образом система сеточных уравнений разрешима, по крайней мере, на достаточно мелкой сетке, т. е. сетке с густым расположением узлов, и её решение при неограниченном измельчании сетки приближается (сходится) к решению исходного уравнения (задачи), то полученное на любой фиксированной сетке решение и принимается за приближённое решение исходного уравнения (задачи).
         Для одномерного теплопроводности уравнения (См. Теплопроводности уравнение)
        
        ,
         с начальным u (х, 0) = u0(x) и краевым условиями u (0, t) = μ1(t), u (1, t) = μ2(t) [предполагается, что u0(0) = μ1(0), u0(1) = μ2(0)] на прямоугольной равномерной сетке с узлами (xi = ih, tj = jτ), где i = 0, 1, 2,..., N, j = 0, 1, 2,..., h = 1/N и τ > 0 — шаги сетки, наиболее часто используемая разностная схема выглядит так (схема с весами):
        (2)
         (2)
         где σ — некоторый параметр. Для двумерного Пуассона уравнения (См. Пуассона уравнение)
        
        , ,
         с однородными краевыми условиями u (0, у) = u (х, 0) = u (1, у) = u (х, 1) = 0 на прямоугольной равномерной сетке с узлами xi1 = i1h1, yi2 = i2h2, где i1 = 0, 1,..., N1, i2 = 0, 1,..., N2, h1 = 1/N1, h2 = 1/N2, наиболее употребительной является разностная схема:
        (4)
         (4)
         Для интегрального уравнения (См. Интегральные уравнения)
        ,
        ,
        ,
        ,
         на равномерной сетке с узлами xi = ih, где i = 0, 1, 2,..., N, h = 1/N, простейшая система сеточных уравнении имеет вид:
        ,
        ,
        Помимо указанных выше равномерных прямоугольных сеток, могут использоваться сетки более общего вида, например неравномерные, а для уравнения (3) и непрямоугольные. Сеточные уравнения на таких сетках выглядят более сложно. Если уравнение (3) решается в области, отличной от прямоугольника, то даже на равномерной прямоугольной сетке аппроксимация краевых условий становится менее очевидной.
         Помимо указанных выше равномерных прямоугольных сеток, могут использоваться сетки более общего вида, например неравномерные, а для уравнения (3) и непрямоугольные. Сеточные уравнения на таких сетках выглядят более сложно. Если уравнение (3) решается в области, отличной от прямоугольника, то даже на равномерной прямоугольной сетке аппроксимация краевых условий становится менее очевидной.
         При выборе той или иной сеточной аппроксимации большое значение имеет величина погрешности аппроксимации (п. а.). Так, для уравнений (2) п. а. есть величина O (τ + h2) при любом σ, O (τ2 + h2) при σ = 0.5 и O (τ2 + h 4) при σ = 0,5 — h2/12τ. Для схемы (4) п. а. есть величина O (h12 + h22). Наличие хорошей аппроксимации уравнений и краевых условий сеточными уравнениями ещё не гарантирует того, что решение системы сеточных уравнений будет в некотором смысле близко к решению исходной задачи. Нужно ещё, чтобы решение сеточных уравнений было устойчивым, т. е. непрерывно (равномерно непрерывно относительно выбора сетки) зависело от правой части и начальных и краевых данных. Только наличие хорошей аппроксимации и устойчивости гарантирует сходимость решений сеточных уравнений к решению исходного уравнения при неограниченном измельчании сетки. Отметим, что схема (2) устойчива при
         Системы сеточных уравнений представляют собой системы линейных алгебраических уравнений. Порядок системы будет тем выше, чем мельче сетка. Но точность приближённого решения зависит от величины шагов сетки, и она тем больше, чем меньше шаги. Поэтому получающиеся алгебраические системы обычно имеют довольно высокий порядок.
         Лит.: Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы, М., 1973.
         В. Б. Андреев, А. А. Самарский.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Сеток метод" в других словарях:

  • СЕТОК МЕТОД — собирательное название группы приближенных методов решения дифференциальных, интегральных и интегро дифференциальных уравнений. Применительно к дифференциальным уравнениям с частными производными термин С. м. используется в качестве синонима… …   Математическая энциклопедия

  • ПОДВИЖНЫХ СЕТОК МЕТОД — метод численного решения задач математич. физики, где разностная сетка, на к рой осуществляется аппроксимация уравнений основной задачи, не остается фиксированной; она прослеживает в процессе расчета изменение границ счетных областей. Простейшая… …   Математическая энциклопедия

  • Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод… …   Википедия

  • Метод конечных разностей во временной области — (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD)  один из наиболее популярных методов численной электродинамики, основанный на дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной форме. Содержание 1 Описание 2 Алгоритм Йи …   Википедия

  • МЕТОД ЛАУЭ — способ получения дифракционной картины от неподвижного к ла при облучении его непрерывным спектром рентгеновых лучей. Пленка или пластинка, на которую фиксируется дифракционная картина, называется лауэграммой. Рассмотрение ее дает возможность: 1) …   Геологическая энциклопедия

  • МЕТОД СЕТОК — разработан для численного решения ряда задач математической физики, используется в гравиразведке и магниторазведке для расчетов пространственного распределения аномалий в нижнем полупространстве. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под …   Геологическая энциклопедия

  • метод кратных сеток — Для ускорения итерационного процесса путём изменения шага сетки. [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN multiply grid method …   Справочник технического переводчика

  • метод муара — метод муаровых полос Эксперим. теоретич. м. определения деформаций и перемещений по чередующимся светлым и темным полосам, образующ. вследствие механич. интерференции, возник, при наложении двух или более систем линий, сеток, растров или точек. М …   Справочник технического переводчика

  • МЕТОД МУАРОВЫХ ПОЛОС — метод экспериментального исследования деформированного состояния конструкций, позволяющий выявить общий характер распределения деформаций по изменению интерференционной картины от сеток на поверхности конструкций (Болгарский язык; Български)… …   Строительный словарь

  • метод муаровых полос — Метод экспериментального исследования деформированного состояния конструкций, позволяющий выявить общий характер распределения деформаций по изменению интерференционной картины от сеток на поверхности конструкций [Терминологический словарь по… …   Справочник технического переводчика

Книги

Другие книги по запросу «Сеток метод» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»