Многообразие это:

Многообразие
        математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. e. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п. и поверхности без самопересечений, краев и т. п.).
         Примером одномерного М. могут служить прямая, парабола, окружность, эллипс, вообще любая линия, у каждой точки которой существует окрестность, являющаяся взаимно однозначным и непрерывным (или, как говорят в топологии, гомеоморфным) образом интервала (внутренней части отрезка прямой). Интервал сам является одномерным М., отрезок же не является М. (так как концы его не имеют окрестностей указанного вида).
         Примером двумерного М. может служить любая область на плоскости (например, внутренность круга x2 + y2 < r2), сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. Двумерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Это требование исключает, например, из числа двумерных М. коническую поверхность (её вершина, в которой сходятся две её полости, не имеет требуемого вида окрестности). Однако выделяют специальный класс объектов, которые не удовлетворяют этому требованию, — т. н. многообразия с краем (например, замкнутый круг x2 + y2r2).
         Примером трёхмерного М. может служить обычное евклидово пространство, а также любое Открытое множество в евклидовом пространстве. Трёхмерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности шара.
         М. разделяются на замкнутые и открытые (определение см. ниже). В случае одного измерения каждое замкнутое М. гомеоморфно окружности, а каждое открытое — прямой (на рис. 1 изображены одномерные М. и окрестности точки Р на каждом из них). В случае двух измерений уже замкнутые М. довольно разнообразны. Они распадаются на бесконечное число топологических типов: сфера — поверхность рода 0 (рис. 2, а), тор — поверхность рода 1 (рис. 2, б), «крендель» — поверхность рода 2 (рис. 2, в), вообще «сфера с n ручками» — поверхность рода n (на рис. 2, г изображена такая поверхность при n = 3). Этими примерами исчерпываются все топологические типы замкнутых двумерных ориентируемых М. (см. также Ориентируемая поверхность). Существует ещё бесконечное число замкнутых двумерных неориентируемых М. — односторонних поверхностей, например Проективная плоскость, т. н. односторонний тор (Клейна поверхность). Имеется и классификация открытых двумерных М. Полная классификация М. трёх измерений не найдена (1974) (даже для случая замкнутых М.).
         Многообразием n измерений (или n-мерным многообразием) называется всякое хаусдорфово Топологическое пространство, обладающее следующим свойством: каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную внутренности n-мерного шара, и всё пространство может быть представлено в виде суммы конечного или бесконечного (счётного) множества таких окрестностей. М. называется замкнутым, если оно компактно (см. Компактность), в противном случае — открытым. Иногда к определению М. прибавляют ещё требование его связности: каждые две точки М. могут быть в нём соединены непрерывной дугой.
         Введение в математику понятия М. любого (натурального) числа измерений n было вызвано весьма разнообразными потребностями геометрии, математического анализа, механики и физики. Важность достаточной широты понимания М. как топологического пространства основана на том, что точками так определённых М. могут быть объекты любой природы, например прямые, сферы, матрицы и т. д.
         При надлежащем добавлении требований к определению М. устанавливается понятие гладкого, или дифференцируемого, многообразия. На гладком М. имеется возможность рассматривать дифференцируемые функции и дифференцируемые отображения в себя или в другие гладкие М. Гладкие М. имеют особенно большое значение в современной математике, поскольку именно они наиболее широко используются в приложениях и смежных областях (например, конфигурационные пространства (См. Конфигурационное пространство) и фазовые пространства (См. Фазовое пространство) в механике и физике). На гладких М. можно ввести метрику (См. Метрика), превратив его в Риманово пространство. Это позволяет строить дифференциальную геометрию на М. Например, введя некоторым образом метрику в конфигурационном пространстве механической системы, можно истолковать траектории движения как геодезические линии в этом пространстве (см. Наименьшего действия принцип). М., для элементов которого определено (дифференцируемое) умножение, превращающее М. в группу, называется группой Ли (см. Непрерывная группа).
         Понятие М. играет большую роль в теории алгебраических функций, непрерывных групп и т. д. Во всех этих приложениях существенны свойства М., не изменяющиеся при топологических преобразованиях, — т. н. топологические свойства. К ним относятся, например, ориентируемость или неориентируемость М. (см. Ориентация). Изучение этих свойств является одной из важнейших задач топологии.
        
         Лит.: Александров П. С. и Ефремович В. А., Очерк основных понятий топологии, М. — Л., 1936; Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967.
         Н. В. Ефимов.
        Рис. 1. Одномерные многообразия.
        Рис. 1. Одномерные многообразия.
        Рис. 2. Примеры замкнутых двумерных многообразий.
        Рис. 2. Примеры замкнутых двумерных многообразий.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Синонимы:

Антонимы:

Смотреть что такое "Многообразие" в других словарях:

  • многообразие — многообразие …   Орфографический словарь-справочник

  • многообразие — разнообразие, разнообразность; полиморфия, многоликость, многообразность. Ant. однообразие Словарь русских синонимов. многообразие 1. многоликость 2. см. разнообразие Словарь синонимов русского язы …   Словарь синонимов

  • МНОГООБРАЗИЕ — МНОГООБРАЗИЕ, многообразия, мн. нет, ср. (книжн.). Множественность проявлений чего нибудь, форм обнаружения чего нибудь. Многообразие форм в природе. Многообразие явлений. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • МНОГООБРАЗИЕ — математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краев и т. п.) …   Большой Энциклопедический словарь

  • многообразие — МНОГООБРАЗНЫЙ, ая, ое; зен, зна. Существующий во многих видах и формах. Многообразные явления. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • МНОГООБРАЗИЕ — множество, точки к рого задаются набором чисел (координат), причём при переходе от точки к точке координаты меняются непрерывно. Локально, т. е. в нек рой окрестности каждой точки, M. устроено так же, как евклидово пространство . (элементы к рого …   Физическая энциклопедия

  • многообразие — разнообразие ряд множество модификация разновидность — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы… …   Справочник технического переводчика

  • Многообразие — Многообразие  топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. Возможно …   Википедия

  • многообразие — • большое многообразие • великое многообразие • исключительное многообразие • невиданное многообразие • огромное многообразие • поразительное многообразие • редкое многообразие • удивительное многообразие …   Словарь русской идиоматики

  • МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… …   Математическая энциклопедия

  • многообразие — я; ср. Проявление чего л. единого по своей сущности в различных видах и формах; разнообразие чего л. М. жизни. М. растительного и животного мира. М. минералов. М. запахов. М. рассматриваемых вопросов. * * * многообразие математическое понятие,… …   Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Многообразие» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»