- Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
-
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
где
— искомая функция,
— её
-тая производная,
— фиксированные числа,
— заданная функция (когда
, имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).
Содержание
Однородное уравнение
Определение
Кратный корень многочлена
— некое число
делящееся без остатка на
, но не на
, где
-
— число, называемое корнем кратности;
— число, называемое кратностью корня.
Уравнение порядка n
Однородное уравнение:
интегрируется следующим образом:
Пусть
— все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения
кратностей
, соответственно,
.
Тогда функции
являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.
Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.
Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней
можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида
и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.
Уравнение второго порядка
Однородное уравнение второго порядка:
интегрируется следующим образом:
Пусть
— корни характеристического уравнения.
,
являющегося квадратным уравнением.
Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта
:
- при
уравнение имеет два различных вещественных корня
Общее решение имеет вид:
- при
— два совпадающих вещественных корня
Общее решение имеет вид:
- при
существуют два комплексно сопряженных корня
Общее решение имеет вид:
Неоднородное уравнение
Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).
Вид общего решения неоднородного уравнения
Если дано частное решение неоднородного уравнения
, и
— фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой
где
— произвольные постоянные.
Принцип суперпозиции
Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.
В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций
,
частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций
,
где
являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями
, соответственно.
Частный случай: квазимногочлен
В случае, когда
— квазимногочлен, то есть
где
— многочлены, частное решение уравнения ищется в виде
где
многочлены,
, коэффициенты которых находятся подстановкой
в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
является кратностью комплексного числа
, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
В частности, когда
где
— многочлен, частное решение уравнения ищется в виде
Здесь
— многочлен,
, с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой
в уравнение.
является кратностью
, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Когда же
где
— многочлен, частное решение уравнения ищется в виде
Здесь
— многочлен,
, а
является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Уравнение Коши — Эйлера
Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:
,
приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида
.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
Категория:- Дифференциальные уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.