ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ

- дифференциальное уравнение, линейное относительно искомой функции одного независимого переменного и ее производных, т. е. уравнение вида

где х(t).- искомая, а a_i(t), f(t) - заданные функции; число пназ. порядком уравнения (1) (ниже излагается общая теория Л. д. у. о.; об уравнениях 2-го порядка см. также ст. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка).

1) Если в уравнении (1) функции непрерывны на промежутке ( а, b), то для любых чисел х ₀,

существует единственное решение x(t).уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям:

причем это решение определено на всем промежутке (а, b).

Уравнение

наз. однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (1). Если x(t) - решение уравнения (2) и

то Если - решения уравнения (2), то и любая их линейная комбинация

является решением уравнения (2). Если пфункций

являются линейно независимыми решениями уравнения (2), то для всякого решения x(t).уравнения (2) найдутся такие постоянные С ₁, ..., С _n, что

Таким образом, если (3) - фундаментальная система решений уравнения (2), то его общее решение задается формулой (4), где С ₁, ..., С _n, - произвольные постоянные. Для всякой невырожденной матрицы и всякого существует такая фундаментальная система решений (3) уравнения (2), что

Для функций (3) определитель

наз. определителем Вроньского, или вронскианом. Если (3) - фундаментальная система решений уравнения (2), то при всех Если хотя бы в одной точке t₀, то и решения (3) уравнения (2) в этом случае линейно зависимы. Для определителя Вроньского решений (3)

уравнения (2) справедлива Лиувилля - Остроградского формула:

Общее решение уравнения (1) является суммой общего решения однородного уравнения (2) и частного решения х ₀(t).неоднородного уравнения (1) и задается формулой

где x₁(t). ..., x_n(t) - фундаментальная система решений уравнения (2), а С ₁, ..., С _n, - произвольные постоянные. Если известна фундаментальная система решений (3) уравнения (2), то частное решение неоднородного уравнения (1) можно найти методом произвольных постоянных вариации.

2) Нормальной линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка наз. система

или в векторной форме

где - искомый вектор-столбец, A(t) - квадратная матрица порядка n, b(t) - заданная вектор-функция. Далее предполагается, что A(t).и b(t).непрерывны на нек-ром промежутке ( а, b). В этом случае для любых существует единственное решение х(t).системы (5), удовлетворяющее начальному условию х(t₀) = x₀, Причем это решение определено на всем промежутке (a, b). Линейная система

наз. однор одной, соответствующей неоднородной системе (5). Если x(t) - решение системы (6) н x(t₀) = 0, то если x₁(t), ..., х _т(t) - решения, то и любая их линейная комбинация

является решением системы (6); если x₁(t), ..., х _т(t).- линейно независимые решения системы (6), то векторы линейно независимы при любом Если n вектор-функций

являются фундаментальной системой решений системы (6), то для всякого решения x(t).системы (6) найдутся такие постоянные С ₁, ..., С _n, что

Таким образом, формулой (8) задается общее решение системы (6). Для любых и линейно независимых векторов существует такая фундаментальная система решений (7) системы (6), что

Для вектор-функций (7), являющихся решениями системы (6), определитель W(t)матрицы

где первый индекс - номер решения, а второй - номер компоненты, наз. определителем Вроньского, или вронскианом. Если (7) - фундаментальная система решений системы (6), то при всех а матрица (9) наз. фундаментальной матрицей.

Если решения (7) системы (6) линейно зависимы хотя бы в одной точке t₀, то они линейно зависимы при любом и в этом случае Для определителя Вроньского решений (7) системы (6) справедлива формула Лиувилля:

где - след матрицы Матрица (9) удовлетворяет матричному уравнению Х=А(t) X(t). Если X(t).- фундаментальная матрица системы (6), то для всякой другой фундаментальной матрицы Y(t).этой же системы существует такая постоянная невырожденная -матрица С, что Y(t) = X(t)C. Если X(t₀)=E, где Е - единичная матрица, то фундаментальная матрица X(t).наз. нормированной в точке t₀ и формулой x(t) = X(t)x₀ задается решение системы (6), удовлетворяющее начальному условию x(t₀) = x₀.

Если матрица A(t).перестановочна со своим интегралом, то фундаментальная матрица системы (6), нормированная в точке задается формулой

В частности, для постоянной матрицы Афундаментальная матрица, нормированная в точке t₀, задается формулой ).

Общее решение системы (5) является суммой общего решения однородной системы (6) и частного решения x₀(t).неоднородной системы (5) и" задается формулой

где х ₁(t), . .., x_n(t) - фундаментальная система решений системы (6), а С ₁, ..., С _п - произвольные постоянные. Если известна фундаментальная система решений (7) системы (6), то частное решение неоднородной системы (5) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Если X(t) - фундаментальная матрица системы (6), то формулой

задается решение системы (5), удовлетворяющее начальному условию x(t₀) = x₀.

3) Пусть в системах (5) и (6) A(t).и b(t).непрерывны на полуоси . Все решения системы (5) одновременно либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому система (5) наз. устойчивой (равномерно устойчивой асимптотически устойчивой), если все ее решения устойчивы (соответственно, равномерно, асимптотически устойчивы). Система (5) устойчива (равномерно, асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда устойчива (соответственно равномерно, асимптотически устойчива) система (6). Поэтому при исследовании вопросов устойчивости линейных дифференциальных систем достаточно ограничиться рассмотрением однородных систем.

Система (6) устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения ограничены на полуоси Система (6) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда

для всех ее решений x(t). Последнее равносильно выполнению соотношения (10) для пее решений x₁(t), . .., x_n(t), образующих фундаментальную систему решений. Асимптотически устойчивая система (6) асимптотически устойчива в целом.

Линейная система с постоянными коэффициентами

устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Аимеют неположительные действительные части (т. е. ); причем собственные значения с нулевой действительной частью имеют лишь простые элементарные делители. Система (11) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Аимеют отрицательные действительные части. 4) Система

где - транспонированная матрица A(t), наз. сопряженной системой для системы (6). Если x(t).и y(t) - произвольные решения систем (6) и (12) соответственно, то скалярное произведение

Если X(t).и Y(t) - фундаментальные матрицы решений систем (6) и (12) соответственно, то

где С - нек-рая невырожденная постоянная матрица.

5) Исследование различных специальных свойств линейных систем и, в частности, вопросов устойчивости связано с понятием Ляпунова характеристического показателя решения и развитым А. М. Ляпуновым первым методом в теории устойчивости (см. Правильная линейная система, Приводимая линейная система).

6) Две системы вида (6) наз. асимптотически эквивалентными, если между их решениями х ₁(t).и х ₂(t).можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что

Если система (11) с постоянной матрицей Аустойчива, то она асимптотически эквивалентна системе x=(A+В(t))x, где матрица В(t).непрерывна на и

При выполнении условия (13) система x=B(t)xасимптотически эквивалентна системе x=0.

Две системы вида (11) с постоянными коэффициентами наз. топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм переводящий ориентированные траектории одной системы на ориентированные траектории другой. Если квадратные матрицы Аи Впорядка пимеют одинаковое количество собственных значений с отрицательной действительной частью и не имеют собственных значений с нулевой действительной частью, то системы х=Ах и х=Вх топологически эквивалентны.

7) Пусть в системе (6) матрица A(t).непрерывна и ограничена на всей действительной оси. Система (6) наз. обладающей свойством экспоненциальной дихотомии, если пространство Rⁿ разлагается в прямую сумму: n₁+n₂=n, так, что для всякого решения x(t).при выполняется неравенство

а при

неравенство

для всех

- постоянные. Свойством экспоненциальной дихотомии обладает, напр., система (11) с постоянной матрицей А, если Ане имеет собственных значений с нулевой действительной частью (такая система наз. гиперболической). Если вектор-функция b(t).ограниченна на всей действительной оси, то система (5) со свойством экспоненциальной дихотомии имеет единственное решение, ограниченное на всей прямой

Лит.:[1] Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970; [2] П о н т р я г и н Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; [3] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1971; [4] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М. - Л., 1950; [5] Демидович Б. П., Лекции по математической теории устойчивости, М., 1967; [6] Б ы л о в Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Н е м ы ц к и й В. В., Теория показателей Ляпунова..., М., 1966; [7] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970. Н. Н. Ладис.