Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Лагранжа.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

$a_n(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_1(t)z'(t)+a_0(t)z(t)=f(t)$

Метод состоит в замене произвольных постоянных $c_k$ в общем решении

$z(t)=c_1 z_1(t)+c_2z_2(t)+...+c_nz_n(t)$

соответствующего однородного уравнения

$a_n(t) z^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) z^{(n-1)}(t) + ... +a_1(t) z'(t) + a_0(t) z(t) = 0$

на вспомогательные функции $c_k(t)$, производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

$\left\{\begin{matrix} z_1(t)c_1^'(t) &+& z_2(t)c_2^'(t) &+& ... &+& z_n(t)c_n^'(t) &=& 0 \\ \vdots\\ z_1^{(n-2)}(t)c_1^'(t) &+& z_2^{(n-2)}(t)c_2^'(t) &+& ... &+& z_n^{(n-2)}(t)c_n^'(t) &=& 0 \\ z_1^{(n-1)}(t)c_1^'(t) &+& z_2^{(n-1)}(t)c_2^'(t) &+& ... &+& z_n^{(n-1)}(t)c_n^'(t) &=& f(t)/ a_n(t) \end{matrix}\right.\qquad(1)$

Определителем системы (1) служит вронскиан функций $z_1, z_2, ..., z_n$, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно ${c_k^'}$.

Если $\tilde{c_k}$ — первообразные для $c_k^'$, взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

$z = z^*(t) = \tilde{c_1}(t)z_1(t) + ... + \tilde{c_n}(t)z_n(t)$

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

$\frac{d \bar{x}}{dt} = A(t)\bar{x} + \bar{f}(t), t\in I\qquad(1)$

состоит в построении частного решения (1) в виде

$\bar{x} = \bar{x^*}(t) = Z(t)\bar{u}(t)$

где $Z(t)$ — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция $\bar{u}$, заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением $\bar{u'}(t) = Z^{-1}(t)\bar{f}(t)$. Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при $t = t_0$ имеет вид

$\bar{x} = \bar{x^*}(t) = \int\limits_{t_0}^{t} Z(t)Z^{-1}(\tau)\bar{\tau}, d\tau$

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

$\bar{x} = \bar{x^*}(t) = \int\limits_{t_0}^{t} Z(t - \tau) \bar{\tau}, d\tau$

Матрица $Z(t)Z^{-1}(\tau)$ называется матрицей Коши оператора $L = A(t)$.

Внешние ссылки

• exponenta.ru — Теоретическая справка c примерами

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).