Линейное дифференциальное уравнение

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

$~Ly = f$

где дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция $y=y(t)\,$, а правая часть $f=f(t)\,$ — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

$~L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y$

Уравнения с переменными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

$~p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x)$

Пример

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

$~x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0$

Уравнение первого порядка

Пример
Решение уравнения $~y'\left(x\right)+3\left(y\right)=2$ с начальными условиями $~y\left(0\right)=2$ Имеем решение в общем виде $~y=e^{-3x}\left(\int 2 e^{3x}\, dx + \kappa\right)$ Решение неопределённого интеграла $~y=e^{-3x}\left(2/3 e^{3x} + \kappa\right)$ Можно упростить до $~y=2/3 + \kappa e^{-3x}$ где $\kappa =$ 4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид

$~y'(x) + f(x) y(x) = g(x)$

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель

$~e^{\int f(x)\,dx}$

получим

$y'(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},$

используем правило дифференцирования произведения

$\left(y(x)e^{\int f(x)\,dx}\right)'=g(x)e^{\int f(x)\,dx}$

что, после интегрирования обеих частей, дает нам

$y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+C ~,$

$y(x) = \dfrac{\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+C }{e^{\int f(x)\,dx}} ~.$

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

$y'(x) + f(x) y(x) = g(x),\,$

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

$y(x)=e^{-{\int{f(x)\,dx}}}\left(\int g(x) e^{\int{f(x)\,dx}}\, dx + C\right)$

где $C$ является константой интегрирования.

Пример

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

$\frac{dy}{dx} + b y = 1.$

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер^{[неизвестный термин]} системы.

В этом случае, p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

$y(x) = e^{-bx} \left( e^{bx}/b+ C \right) = 1/b + C e^{-bx} .$

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.