- ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
обыкновенное- уравнение вида
где x(t) - искомая функция,
- заданные действительные числа, f(t) - заданная действительная функция.
Соответствующее (1) однородное уравнение
интегрируется следующим образом. Пусть
- все различные корни характеристич. уравнения
кратностей
соответственно,
Тогда функции
являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями уравнения (2), т. е. образуют фундаментальную систему решений. Общее решение уравнения (2) является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами фундаментальной системы решений. Если
- комплексное число, то для всякого целого m, 
действительная часть
и мнимая часть
комплексного решения
являются линейно независимыми действительными решениями уравнения (2), а паре комплексно сопряженных корней
кратности lj соответствует 2lj линейно независимых действительных решений
Неоднородное уравнение (1) интегрируется методом произвольных постоянных вариации. В случае, когда f - квазимногочлен, т. е.
где р т к qm- многочлены степеней
а число a+bi не является корнем уравнения (3), частное решение уравнения (1) ищется в виде
Здесь Р т и Qm - многочлены степени тс неопределенными коэффициентами, к-рые находятся подстановкой (5) в (1). Если a+bi - корень уравнения (3) кратности k, то частное решение уравнения (1) ищется в виде
методом неопределенных коэффициентов. Если х 0(t) - частное решение неоднородного уравнения (1), а х 1(t), ..., xn(t) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (2), то Общее решение уравнения (1) задается формулой
где C1, . . ., С п - произвольные постоянные.
Однородная система линейных дифференциальных уравнений n-го порядка
где
- искомый вектор, a A - постоянная действительная 
-матрица, интегрируется следующим образом. Если 
- действительное собственное значение кратности kматрицы А, то решения х=(x1, ..., х п), соответствующие собственному значению 
ищутся в виде
Здесь Р 1(t), ..., Pn(t).-многочлены степени k-1 с неопределенными коэффициентами, к-рые находятся подстановкой (7) в (6); при этом существует в точности kлинейно независимых решений вида (7). Если
- комплексное собственное значение кратности k, то действительные и мнимые части комплексных решений вида (7) образуют 2k линейно независимых действительных решений системы (6), а пара комплексно сопряженных собственных значений 
кратности kматрицы Апорождает 2k линейно независимых действительных решения системы (6). Перебирая все собственные значения матрицы А , находят 2n линейно независимых решений, т. е. фундаментальную систему решений. Общее решение системы (6) является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами решений, образующих фундаментальную систему.
Матрица
является фундаментальной матрицей системы (7), нормированной в нуле, т. к. Х(0)=Е - единичная матрица. Здесь
причем этот матричный ряд абсолютно сходится для любой матрицы Аи всех действительных t. Всякая другая фундаментальная матрица системы (6) имеет вид
где С - постоянная невырожденная матрица порядка п.
Лит.:[1] П о н т р я г и н Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; [2] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1971; [3] Д е м и д о в и ч Б. П., Лекции по математической теории устойчивости, М., 1967. , Н. Я. Ладис.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ - уравнение вида
где F - линейная функция действительных переменных,
- неотрицательные целочисленные индексы,
и по крайней мере одна из производных
отлична от нуля.
Подробнее см. Дифференциальное уравнение с частными производными. А. Б. Иванов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
