Характеристическое уравнение

Характеристический многочлен — это многочлен, определяющий собственные значения матрицы.

Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты $x_n=a_1x_{n-1}+\cdots+a_kx_{n-k}$ — это многочлен $x^n-a_1x^{n-1}-\cdots-a_k$.

Определение

Для данной матрицы A, χ(λ) = det(A − λE) является многочленом от λ, который называется характеристическим многочленом матрицы A.

Связанные определения

• Матрицу вида A − λE называют характеристической матрицей матрицы А, где Е — единичная матрица.
• Уравнение χ(λ) = 0 называют характеристическим уравнением матрицы A.

Свойства

• Для матрицы $n\times n$, характеристический многочлен имеет степень n.
• Корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• (Теорема Гамильтона — Кэли): если χ(λ) — характеристический многочлен матрицы A, то χ(A) = 0.

Характеристический многочлен линейной рекурренты $x_n=a_1x_{n-1}+\cdots+a_kx_{n-k}$ — это многочлен $x^n-a_1x^{n-1}-\cdots-a_k$.

• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: $\chi_{ABA^{-1}}=\chi_{B}$.

• Если A и B — две $n\times n$-матрицы, то $\chi_{AB}\,=\,\chi_{BA}$.

В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и |AB|=|BA|.

• Более общо, если A — $m\times n$-матрица, а B — $n\times m$-матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то

$\chi_{BA}(\lambda)\,=\,\lambda^{n-m}\,\chi_{AB}(\lambda)$.

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина. Высшая математика. Линейная алгебра. Ивановский государственный энергетический университет