Квадратичное отклонение

Квадратичное отклонение

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и \operatorname{var}\,X (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение \sigma_X^2 или \displaystyle \sigma^2. Квадратный корень из дисперсии \displaystyle \sigma называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

Содержание

Определение

Пусть \displaystyle X — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

D[X] = M\left[(X -M[X])^2\right],

где символ M обозначает математическое ожидание.

Замечания

  • В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;
D[X] = U''(0) − U'2(0)

Свойства дисперсии

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D[X] \geqslant 0;
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] п.н.
  • Пусть \displaystyle X_1,\dots, X_n — случайные величины, а Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; a_i\in \mathbb{R} — их произвольная линейная комбинация. Тогда
D[Y] = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 D[X_i] + \sum\limits_{i\not = j} a_i a_j\,\operatorname{cov}\,(X_i,X_j) = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 D[X_i] + 2 \sum\limits_{i < j} a_i a_j\,\operatorname{cov}\,(X_i,X_j),
где \operatorname{cov}\,(X_i,X_j)ковариация случайных величин \displaystyle X_i,\, X_j.
В частности:
  • D\left[ X_1 + \cdots + X_n\right] = D[X_1] +\dots +D[X_n],
если \displaystyle X_1,\ldots , X_n независимы;
  • D\left[aX\right] = a^2D[X];
  • D\left[-X\right] = D[X];
  • D\left[X+b\right] = D[X].

Пример

Пусть случайная величина \displaystyle X имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на \displaystyle [0,1], т. е. её плотность вероятности задана равенством


f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x\in [0,1] \\
0, & x \not\in [0,1].
\end{matrix}
\right.

Тогда

M\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},

и

M\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.

Тогда

D[X] = M\left[X^2\right] - (M[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Квадратичное отклонение" в других словарях:

  • КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ — (уклонение) наблюденных значений от a выражение1. .В теории вероятностей квадратичное отклонение случайной величины корень квадратный из ее дисперсии …   Большой Энциклопедический словарь

  • КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ — (стандартное отклонение) величин x1, x2,...х n от значения а квадратный корень из выражения . Наим. значениеК. о. принимает при где ср …   Физическая энциклопедия

  • квадратичное отклонение — (уклонение) наблюдённых значений х1, x2, ..., xn от a  выражение . В теории вероятностей квадратичное отклонение случайной величины  корень квадратный из её дисперсии. * * * КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ (уклонение) наблюденных… …   Энциклопедический словарь

  • Квадратичное отклонение —         квадратичное уклонение, стандартное отклонение величин x1, x2,..., xn от а квадратный корень из выражения                   Наименьшее значение К. о. имеет при а = x̅, где x̅ среднее арифметическое величин x1, x2,..., xn:         … …   Большая советская энциклопедия

  • КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ — квадратичное уклонение, стандартное отклонение величин x1, х 2, . . . , х п от а квадратный корень из выражения Наименьшее значение К. о. имеет при где среднее арифметическое величин х 1, х 2, ... , х п: В этом случае К. о. может служить мерой… …   Математическая энциклопедия

  • КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ — см. Дисперсия …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ — (уклонение) наблюдённых значений х1, Х2, ..., хn от а выражение В теории вероятностей К. о. случайной величины корень квадратный из её дисперсии …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Квадратичное отклонение стандартное о — Квадратичное отклонение, стандартное о. * квадратычнае адхіленне, стандартнае а. * quadratic deviation or standard d. биометрический параметр, отражающий меру изменчивости количественного признака в группе особей …   Генетика. Энциклопедический словарь

  • средне-квадратичное отклонение — vidutinis kvadratinis nuokrypis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. root mean square deviation vok. mittlere quadratische Abweichung, f rus. средне квадратичное отклонение, n pranc. écart moyen quadratique, m; écart quadratique moyen, m …   Fizikos terminų žodynas

  • среднее квадратичное отклонение — То же, что и стандартное отклонение. Примечание. Говорят также "среднеквадратичное отклонение". Кроме того, в том же смысле используют термины квадратичная ошибка, средняя квадратичная ошибка …   Словарь социологической статистики


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»