Квадратичное отображение

Квадратичное отображение

Логистическое отображение (также известное, как квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) является полиномиальным отображением, хрестоматийно упоминаемым в качестве типичного примера того, как сложное, хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных уравнений. Отображение является дискретным аналогом непрерывного логистического уравнения Ферхюльста, отражая тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени. Математическая формулировка отображения

x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,

где:

x_n\, принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в n\,-ом году, а x_0\, обозначает начальную численность (в год номер 0)
r\, - положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции.

Это нелинейное отображение описывает два эффекта:

  • размножение популяции, со скоростью, пропорциональной ее численности в момент, когда численность мала.
  • конкуренцию (смертность при высокой плотности) за жизненные ресурсы, при которой скорость размножения падает из-за ограничения на "максимальную емкость" среды, в которой обитает популяция.

Одним из недостатков использования отображения в качестве демографической модели является тот факт, что при некоторых начальных значениях и величинах параметров отображение дает отрицательные значения численности популяции. Подобного недостатка лишена дискретная модель Рикера, которая также демонстрирует хаотическое поведение.

Зависимость поведения от параметра r\,

При изменении значения параметра r\,, в системе наблюдается следующее поведение [1]:

  • если r\, больше 0 и меньше 1, популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.
  • если r\, больше 1 и меньше 2, численность популяции быстро выйдет на стационарное значение
\frac{r-1}{r}, независимо от начальных условий .
  • если r\, больше 2 и меньше 3, численность популяции точно так же прийдет к тому же стационарному значению
\frac{r-1}{r}, но вначале будет несколько колебаться вокруг него. Скорость сходимости линейна везде, кроме значения r\,=3, при котором она крайне мала, меньше линейной.
  • если r\, больше 3 и меньше 1+\sqrt{6} (приблизительно 3.45), численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями, причем их величина не зависит от r\,.
  • если r\, больше 3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.
  • при значении r\, больше 3.54, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее. Длина интервала изменения параметра, при котором наблюдаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения r\,. Отношение между двумя длинами смежных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной δ = 4.669\dots. Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода.
  • При значении r\, приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.
  • Большинство значений, превышающих 3.57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные "окна" значений r\,, при которых система ведет себя регулярно, обычно их называют "окнами периодичности". К примеру, начиная со значения 1+\sqrt{8} (приблизительно 3.83), существует интервал параметров r\,, при котором наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений r\, - между 6, потом 12 и т.д. Фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского.
  • При r\, = 4, значения отображения покидают интервал [0,1] и расходятся при любых начальных условиях.

Итог вышеперечисленного приведен на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра r\,, а по оси ординат - принимаемые на больших временах значения x\,.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения

Структура бифуркационной диаграммы фрактальна: если увеличить область, к примеру, при значении r\,= 3.82 в одном из трех ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искаженная и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.

Аналитическое решение

Для r\,= 2 точное аналитическое решение выглядит следующим образом:

 x(n) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^\left(2^n\right)

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Квадратичное отображение" в других словарях:

  • Логистическое отображение — У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения). Логистическое отображение (также квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума)  это полиномиальное отображение, которое описывает, как меняется численность… …   Википедия

  • Порядок Шарковского — Порядок Шарковского  упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая… …   Википедия

  • Множество Жюлиа — Множество Жюлиа. Точнее, это не само множество (которое в данном случае состоит из несвязных точек и не может быть нарисовано), а точки из его окрестности. Чем ярче точка, тем ближе она к множеству Жюлиа и тем больше итераций ей нужно, чтобы уйти …   Википедия

  • Пыль Фату — Множество Жюлиа Множество Жюлиа В голоморфной динамике, множество Жюлиа рационального отображения …   Википедия

  • Пыль фату — Множество Жюлиа Множество Жюлиа В голоморфной динамике, множество Жюлиа рационального отображения …   Википедия

  • Множество Джулия — Множество Жюлиа Множество Жюлиа В голоморфной динамике, множество Жюлиа рационального отображения …   Википедия

  • Множество Фату — Множество Жюлиа Множество Жюлиа В голоморфной динамике, множество Жюлиа рационального отображения …   Википедия

  • Метод Ньютона — Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных)  это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном… …   Википедия

  • Универсальность Фейгенбаума — Универсальность Фейгенбаума, или универсальность Фейгенбаума Кулле Трессера  эффект в теории бифуркаций, заключающийся в том, что определённые числовые характеристики каскада бифуркаций удвоения периодов в однопараметрическом семействе… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА — семейство эффективных линейно эквивалентных дивизоров на алгебраич. многообразии, параметризованное проективным пространством. Пусть X неособое алгебраич. многообразие над полем k, обратимый пучок на X, Г (X, ) пространство глобальных сечений… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»