Квадратичное отображение

Логистическое отображение (также известное, как квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) является полиномиальным отображением, хрестоматийно упоминаемым в качестве типичного примера того, как сложное, хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных уравнений. Отображение является дискретным аналогом непрерывного логистического уравнения Ферхюльста, отражая тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени. Математическая формулировка отображения

$x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,$

где:

$x_n\,$ принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в $n\,$-ом году, а $x_0\,$ обозначает начальную численность (в год номер 0)

$r\,$ - положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции.

Это нелинейное отображение описывает два эффекта:

• размножение популяции, со скоростью, пропорциональной ее численности в момент, когда численность мала.
• конкуренцию (смертность при высокой плотности) за жизненные ресурсы, при которой скорость размножения падает из-за ограничения на "максимальную емкость" среды, в которой обитает популяция.

Одним из недостатков использования отображения в качестве демографической модели является тот факт, что при некоторых начальных значениях и величинах параметров отображение дает отрицательные значения численности популяции. Подобного недостатка лишена дискретная модель Рикера, которая также демонстрирует хаотическое поведение.

Зависимость поведения от параметра $r\,$

При изменении значения параметра $r\,$, в системе наблюдается следующее поведение ^[1]:

• если $r\,$ больше 0 и меньше 1, популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.
• если $r\,$ больше 1 и меньше 2, численность популяции быстро выйдет на стационарное значение

$\frac{r-1}{r}$, независимо от начальных условий .

• если $r\,$ больше 2 и меньше 3, численность популяции точно так же прийдет к тому же стационарному значению

$\frac{r-1}{r}$, но вначале будет несколько колебаться вокруг него. Скорость сходимости линейна везде, кроме значения $r\,$=3, при котором она крайне мала, меньше линейной.

• если $r\,$ больше 3 и меньше $1+\sqrt{6}$ (приблизительно 3.45), численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями, причем их величина не зависит от $r\,$.
• если $r\,$ больше 3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.
• при значении $r\,$ больше 3.54, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее. Длина интервала изменения параметра, при котором наблюдаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения $r\,$. Отношение между двумя длинами смежных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной δ = 4.669$\dots$. Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода.
• При значении $r\,$ приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.
• Большинство значений, превышающих 3.57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные "окна" значений $r\,$, при которых система ведет себя регулярно, обычно их называют "окнами периодичности". К примеру, начиная со значения $1+\sqrt{8}$ (приблизительно 3.83), существует интервал параметров $r\,$, при котором наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений $r\,$ - между 6, потом 12 и т.д. Фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского.
• При $r\,$ = 4, значения отображения покидают интервал [0,1] и расходятся при любых начальных условиях.

Итог вышеперечисленного приведен на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра $r\,$, а по оси ординат - принимаемые на больших временах значения $x\,$.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения

Структура бифуркационной диаграммы фрактальна: если увеличить область, к примеру, при значении $r\,$= 3.82 в одном из трех ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искаженная и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.

Аналитическое решение

Для $r\,$= 2 точное аналитическое решение выглядит следующим образом:

$x(n) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^\left(2^n\right)$

Ссылки

1. ↑ "Java-демонстрация бифуркаций квадратичного отображения" at homepage of Dr Evgeny Demidov.