Дифференцируемость функции в точке

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.

Определения

• Пусть дана функция $f\colon M\subset \R \to \R$, и $x_0\in M$ — внутренняя точка области определения f. Тогда f называется дифференци́руемой в x₀, если существует окрестность $U(x_0) \ni x_0$ и число $A \in \mathbb{R}$ такие, что в этой окрестности для f справедливо представление

  $f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0),\quad x \in U(x_0),$

где o(x − x₀) обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с x − x₀ при $x \to x_0.$ Если f дифференцируема в x₀, пишут $f \in \mathcal{D}(x_0).$

• Линейное отображение $l(h) = Ah,\; h \in \R,$ где A — константа из предыдущего определения, называется дифференциа́лом функции f в точке x₀ и обозначается df(x₀).

• Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке M(x;y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Δz = AΔx + BΔy + αΔx + βΔy,

где $\alpha = \alpha (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0$ и $\beta = \beta (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0$ при $\Delta x \rightarrow 0$,$\Delta y \rightarrow 0$

Свойства

• Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того

  $f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0)\Leftrightarrow f'(x_0) = A.$

• Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.

• Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть

  $f \in \mathcal{D}(x_0)\Rightarrow f \in C(x_0).$

Обратное, вообще говоря, неверно.

Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Основная статья: Касательная прямая

Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция $f_l\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, задаваемая уравнением f_l(x) = f(x₀) + (f)'(x₀)(x − x₀), называется касательной к функции f в точке x₀.

Примеры

• Функция f(x) = x² определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление

  f(x) = f(x₀) + 2x₀(x − x₀) + (x − x₀)².

Таким образом имеем: f'(x₀) = 2x₀. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: $f_l(x) = x_0^2 + 2x_0(x-x_0)$. Дифференциал этой функции задаётся формулой: df(x₀)(h) = 2x₀h.

• Функция f(x) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x₀ = 0, её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определён и её дифференциал.

См. также

• Производная функции
• Производная (обобщения)
• Дифференцирование сложной функции

Ссылки

• http://rustud.ru/matematika/gl16/11.htm
• http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Ma/02/02/t.htm
• http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme10/theory.asp