Показатель Липшица

Показатель Гёльдера α (известен также как показатель Липшица) — характеристика гладкости функции. Локальный (точечный) показатель Гёльдера характеризует локальную гладкость (локальную нерегулярность) функции в точке. В общем случае показатель Гёльдера является вещественым.

Однородный показатель Гёльдера функции f на множестве $\R$ определяется предельным спадом его Фурье-преобразования. Сигнал ограничен и имеет однородный показатель Гёльдера α на множестве $\R$, если $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\hat f(\omega)|(1+|\omega|^\alpha)\,d\omega<+\infty$.

Локальный показатель Гёльдера может быть рассчитан, исходя из спада коэффициентов вейвлет-преобразования функции, находящихся на линии локальных максимумов модуля вейвлет-преобразования^[1].

Определение

Функция f имеет локальный (или точечный) показатель Гёльдера $\alpha\leqslant 0$ в точке v тогда, когда существует константа $K\leqslant 0$ и полином p_v порядка m = α такой, что $\forall t\in\R$

$|f(t)-p_v(t)|\leqslant K|t-v|^\alpha.$

Если функция f регулярна по Гёльдеру с показателем α (имеет однородный показатель Гёльдера α) α > m в окрестности точки v, то это означает что функция обязательно m раз дифференцируема в этой окрестности.

Функция, которая терпит разрыв в точке v, имеет показатель Гёльдера α = 0 в этой точке.

Локальный (точечный) показатель Гёльдера может произвольно изменяться во времени. Это изменение может создаваться функцией с так называемыми неизолированными нерегулярностями, где функция имеет разную регулярность по Гёльдеру в каждой точке. В противоположность, постоянный (однородный) во времени показатель Гёльдера обеспечивает более глобальное измерение регулярности, которое относится ко всему интервалу.

Говоря не математическим языком, показатель Гёльдера определяет дробную дифференцируемость функции (в точке).

Примечания

1. ↑ Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Transactions on Information Theory. — 1992. — Vol. 38. — No. 2. — P. 617—639.