- Дискретные вейвлет-преобразования
-
В численном и функциональном анализе дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) относятся к вейвлет-преобразованиям, в которых вейвлеты представлены дискретными сигналами (выборками).
Первое ДВП было придумано венгерским математиком Альфредом Хааром. Для входного сигнала, представленного массивом 2n чисел, вейвлет-преобразование Хаара просто группирует элементы по 2 и образует от них суммы и разности. Группировка сумм проводится рекурсивно (в случае чётной длины последовательности сумм) для образования следующего уровня разложения. В итоге получается 2n-1 разность и 1 общая сумма.
Это простое ДВП иллюстрирует общие полезные свойства вейвлетов. Во-первых, преобразование (один уровень) можно выполнить за O(n) операций. Во-вторых, оно не только раскладывает сигнал на некоторое подобие частотных полос (путём анализа его в различных масштабах), но и представляет временну́ю область, то есть моменты возникновения тех или иных частот в сигнале. Вместе, эти свойства характеризуют быстрое вейвлет-преобразование — альтернативу обычному быстрому преобразованию Фурье.
Самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований был сформулирован бельгийским математиком Ингрид Добеши (Ingrid Daubechies) в 1988 году. Он основан на использовании рекуррентных соотношений для вычисления всё более точных выборок неявно заданной функции материнского вейвлета, с удвоением разрешения при переходе к следующему уровню (масштабу). В своей основополагающей работе Добеши выводит семейство вейвлетов, первый из которых является вейвлетом Хаара. С тех пор интерес к этой области быстро возрос, что привело к созданию многочисленных потомков исходного семейства вейвлетов Добеши.
Другие формы дискретного вейвлет-преобразования включают непрореженное вейвлет-преобразование (где не выполняется прореживания сигналов), преобразование Ньюлэнда (где ортонормированный базис вейвлетов выводится из специальным образом построенных фильтров типа «top-hat» в частотной области). Пакетные вейвлет-преобразования также связаны с ДВП. Другая форма ДВП — комплексное вейвлет-преобразование.
У дискретного вейвлет-преобразования много приложений в естественных науках, инженерном деле, математике (включая прикладную). Наиболее широко ДВП используется в кодировании сигналов, где свойства преобразования используются для уменьшения избыточности в представлении дискретных сигналов, часто — как первый этап в компрессии данных.
Содержание
Определение
Один уровень преобразования
ДВП сигнала x получают применением набора фильтров. Сначала сигнал пропускается через низкочастотный (low-pass) фильтр с импульсным откликом g, и получается свёртка:
Одновременно сигнал раскладывается с помощью высокочастотного (high-pass) фильтра h. В результате получаются детализирующие коэффициенты (после ВЧ-фильтра) и коэффициенты аппроксимации (после НЧ-фильтра). Эти два фильтра связаны между собой и называются квадратурными зеркальными фильтрами (QMF).
Так как половина частотного диапазона сигнала была отфильтрована, то, согласно теореме Котельникова, отсчёты сигналов можно проредить в 2 раза:
Такое разложение вдвое уменьшило разрешение по времени в силу прореживания сигнала. Однако каждый из получившихся сигналов представляет половину частотной полосы исходного сигнала, так что частотное разрешение удвоилось.
Схема разложения сигнала в ДВП[1]С помощью оператора прореживания
вышеупомянутые суммы можно записать короче:
Вычисление полной свёртки x * g с последующим прореживанием — это излишняя трата вычислительных ресурсов.
Схема лифтинга является оптимизацией, основанной на чередовании этих двух вычислений.
Каскадирование и банки фильтров
Это разложение можно повторить несколько раз для дальнейшего увеличения частотного разрешения, с дальнейшим прореживанием коэффициентов после НЧ и ВЧ-фильтрации. Это можно представить в виде двоичного дерева, где листья и узлы соответствуют пространствам с различной частотно-временной локализацией. Это дерево представляет структуру банка (гребёнки) фильтров.
Трехуровневый банк (гребёнка) фильтровНа каждом уровне вышеприведённой диаграммы сигнал раскладывается на низкие и высокие частоты. В силу двукратного прореживания, длина сигнала должна быть кратна 2n, где n — число уровней разложения.
Например, для сигнала из 32 отсчётов с частотным диапазоном от 0 до fn трёхуровневое разложение даст 4 выходных сигнала в разных масштабах:
Уровень Частоты Длина сигнала 3 0 … fn / 8 4 fn / 8 … fn / 4 4 2 fn / 4 … fn / 2 8 1 fn / 2 … fn 16 Представление ДВП в частотной областиПример программы
Ниже приведён пример ДВП-разложения (один уровень), показывающий простоту его вычисления.
- Реализация на Си для быстрого лифтинга дискретного биортогонального CDF 9/7 вейвлета, используемого в алгоритме сжатия изображений JPEG-2000.
- Stéphane Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing
Примечания
См. также
Ссылки
Литература
Wikimedia Foundation. 2010.