Вейвлеты Добеши

Вейвлет Добеши порядка 2

Вейвлеты Добеши (англ. Daubechies Wavelet) — семейство ортогональных вейвлетов с компактным носителем, вычисляемым итерационным путем. Названы в честь математика из США, первой построившей данное семейство, Ингрид Добеши.

Построение вейвлетов Добеши

Для построения вейвлетов воспользуемся уравнением растяжения и вейвлет-уравнением
$\phi(t) = \sqrt{2}\sum_{k}h_{k}\phi(2t-k)$
$\psi(t) = \sqrt{2}\sum_{k}g_{k}\phi(2t-k)$
Компактность носителя функций $\phi$ и $\psi$ может быть достигнута, если будет выбрано конечное число $h_{n}\ne0$ таким образом, чтобы была достигнута ортогональность и гладкость вейвлета, либо чтобы выполнялось условие моментов. Для области Фурье условие ортогональности и гладкости выглядит следующим образом:
$|m_{0}(\omega)|^{2}+|m_{0}(\omega+\pi)|^{2}=1$, где $|m_{0}(\omega)=\sum_{n}\frac{h_{n}e^{-in\omega}}{\sqrt{2}}$ — тригонометрический полином,
при условии моментов $\frac{d^{l}\psi{\omega}}{d\omega^{l}}|_{\omega=0}=0$,для $l=0,1,\dots,N-1$
принимающий вид:
$m_{0}(\omega)\propto\left( \frac{1+e^{i\omega}}{2} \right)^{N}$
Если положить, что $M_{0}(\omega)=m_{0}(\omega)|^{2}$ — полином по $\cos(\omega)$, то условие нулевых моментов дает $M_{0}(\omega)=\cos^{2N}\left(\frac{\omega}{2}\right)L(\omega)$, где $L(\omega)=P\sin^{2}\frac{\omega}{2}$ — полином по $\cos(\omega)$
Для поиска коэффициентов $h_{n}$ необходимо получить $m_{0}$, выделив форму полинома $P$. Из условия ортогональности и условия нулевых моментов следует, что
$P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y))$ (1)
Разложив $(1-y)^{-N}$ до порядка $N-1$, получим явный вид полинома:
$P(y)=(1-y)^{-N})(1-y^{N}P(1-y))=\sum_{k=0}^{N-1} \begin{pmatrix} N+k-1 \\ k \end{pmatrix}y^{k}$
Путем спектрального разложения на множители можно извлечь корни $m_{0}$ из $P$:
$m_{0}(\omega)=const\left(\frac{z+1}{2}\right)^{N}\prod_{j=1}^{N-1}(z-z_{j})$
Искомые коэффициенты вейвлета $\frac{h_{j}}{\sqrt{2}}$ будут являться коэффициентами при $z^{j}$ в обратном порядке.

Также для построения вейвлетов данного типа используется каскадный алгоритм. Он позволяет поточечно строить масштабирующую функцию φ по известным коэффициентам $h_{n}$. На каждом шаге алгоритма функция φ уточняется по оси t в 2 раза. Далее при необходимости применяется сглаживание φ. После этого, зная φ и $h_{n}$, находится функция самого вейвлета ψ.

Ортогональные нормированные коэффициенты добеши низких порядков

Ортогональные нормированные коэффициенты добеши низких порядков

D2 (Хаар)	D4	D6	D8	D10	D12	D14	D16	D18	D20
1	0.6830127	0.47046721	0.32580343	0.22641898	0.15774243	0.11009943	0.07695562	0.05385035	0.03771716
1	1.1830127	1.14111692	1.01094572	0.85394354	0.69950381	0.56079128	0.44246725	0.34483430	0.26612218
	0.3169873	0.650365	0.8922014	1.02432694	1.06226376	1.03114849	0.95548615	0.85534906	0.74557507
	-0.1830127	-0.19093442	-0.03957503	0.19576696	0.44583132	0.66437248	0.82781653	0.92954571	0.97362811
		-0.12083221	-0.26450717	-0.34265671	-0.31998660	-0.20351382	-0.02238574	0.18836955	0.39763774
		0.0498175	0.0436163	-0.04560113	-0.18351806	-0.31683501	-0.40165863	-0.41475176	-0.35333620
			0.0465036	0.10970265	0.13788809	0.1008467	6.68194092e-4	-0.13695355	-0.27710988
			-0.01498699	-0.00882680	0.03892321	0.11400345	0.18207636	0.21006834	0.18012745
				-0.01779187	-0.04466375	-0.05378245	-0.02456390	0.043452675	0.13160299
				4.71742793e-3	7.83251152e-4	-0.02343994	-0.06235021	-0.09564726	-0.10096657
					6.75606236e-3	0.01774979	0.01977216	3.54892813e-4	-0.04165925
					-1.52353381e-3	6.07514995e-4	0.01236884	0.03162417	0.04696981
						-2.54790472e-3	-6.88771926e-3	-6.67962023e-3	5.10043697e-3
						5.00226853e-4	-5.54004549e-4	-6.05496058e-3	-0.01517900
							9.55229711e-4	2.61296728e-3	1.97332536e-3
							-1.66137261e-4	3.25814671e-4	2.81768659e-3
								-3.56329759e-4	-9.69947840e-4
								5.5645514e-5	-1.64709006e-4
									1.32354367e-4
									-1.875841e-5

См. также

• Вейвлет Койфлет

Ссылки

• Ingrid Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992
• Основы теории вейвлетов с пакетом Mathematica Wavelet Explorer