- Число Лефшеца
-
Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.
Содержание
Определение
Пусть
— топологическое пространство,
— непрерывное отображение,
— группы гомологий
с коэффициентами в поле
. Пусть
— след линейного преобразования
По определению, число Лефшеца отображения
есть
Свойства
- Число Лефшеца определено если общий ранг групп
конечен, и в этом случае не зависит от выбора
.
- Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике
.
Формула Лефшеца
Пусть
— связное ориентируемое
-мерное компактное топологическое многообразие или
-мерный конечный клеточный комплекс,
— непрерывное отображение.
Предположим, что все неподвижные точки отображения
изолированы.
Для каждой неподвижной точки
, обозначим через
её индекс Кронекера (локальная степень отображения
в окрестности точки
). Тогда формула Лефшеца для
и
имеет вид
- В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.
История
Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и для позже конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения
-мерной сферы в себя.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Алгебраическая топология
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.