ДВОЙСТВЕННОСТЬ

- 1) Д. в алгебраической геометрии - двойственность между различными пространствами когомологий на алгебраич. многообразиях.

Когомологий когерентных пучков. Пусть X- неособое проективное алгебраич. многообразие размерности nнад алгебраически замкнутым полем к, а - локально свободный пучок на X. Теорема двойственности Серра утверждает, что конечномерные линейные векторные пространства когомологий двойственны друг другу. Здесь - пучок ростков регулярных дифференциальных форм n-й степени на X, а -двойственный к локально свободный пучок. В случае, когда - обратимый пучок, соответствующий дивизору Dна X, эта теорема устанавливает равенство

где К- канонич. дивизор на X. При n = 1 эквивалентное этому равенство было найдено еще в 19 в. Существует обобщение теоремы Серра на случай когомологий произвольных когерентных пучков на полных алгебраич. многообразных (см. [1], [4]). В частности, когда многообразие Xесть подмногообразие Коэна - Маколея (напр., локально полное пересечение) коразмерности dв неособом проективном многообразии У,

имеет место Д. между k-пространством Н ⁱ( Х, F) и пространством глобальных Ext'oв

где -когерентный пучок на X, (дуализирующий пучок Гротендикa), a n=dim X. При этом пучок является обратимым в том и только в том случае, когда Xесть схема Горенштейна (см. Горенштейна кольцо).

Этальные когомологии. Пусть X- полное связное неособое алгебраич. многообразие размерности dнад алгебраически замкнутым полем к, п- целое число, взаимно простое с характеристикой поля А:,- локально свободный (в этальной топологии) пучок -модулей на X,m_n - пучок корней п-А степени из единицы. Существует невырожденное спаривание Z/nZ-модулей [6]:

Более общая теорема Д. относится к гладким, но необязательно полным многообразиям [5]. Существует невырожденное спаривание -модулей

где слева стоят когомологии с компактными носителями. Если поле кесть алгебраич. замыкание поля k',

то группа Галуа Gal(k/k' )действует на Н ⁱ( Х, F )и предыдущее спаривание есть спаривание Gal(k/k') -мо дулей.

Аналогом первой из приведенных теорем Д. для l-адических когомологии является теорема двойственности Пуанкаре: существует невырожденное спаривание Z_i -модулей

где Z_l[d]- пучок Тейта, неканонически изоморфный пучку Z_l (см. l-адические когомологии). Отсюда следует изоморфизм Q_l -пространств

и, в частности, равенство чисел Бетти

Так же, как и в случае когомологии когерентных пучков, имеется обобщение предыдущих результатов на относительный случай собственного морфизма схем, формулируемый на языке производных категорий [6]. Другие теории когомологии. Аналоги теоремы Пуанкаре имеют место для теории кристальных когомологии [7], когомологии де Рама над полем нулевой характеристики [8]. В теоретико-числовых приложениях важную роль играют когомологии пучков на плоской топологии Гротендика числовых схем. В отдельных частных случаях для таких когомологий также имеются теоремы Д. [9].

Лит.:[1] Гротендик А., в сб.: Международный математический конгресс в Эдинбурге, М., 1962, с. 116-37; [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47-112; [3] Серр Ж.-П., в сб. переводов: Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958, 372-450; [4] Наrtshоrne R., Residues and duality, В., 1966; [5] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 3, В., 1973; [6] Verdier J. L., в кн.: Proceedings of a Conference on Local Fields, В., 1967, S. 184-98: [7] Berthelot P., Cohomologie cristalline des schemas de caracteristique p>0, В., 1974; [8] Hartshorne R., Ample subvarieties of algebraic varieties, В., 1970; [9] Mazur В., "Amer. J. Math.", 1970, v. 92, p. 343-61; [10] Altman А., Кleiman S., Introduction to Grothendieck duality theory, В., 1970.

И. В. Долгачев.

2) Д. в алгебраической топологии - положение, когда значения одних топологич. инвариантов определяют значения других. Д. в алгебраич. топологии выражается: в Д. (в смысле теории характеров) между группами гомологии и когомологии одной и той же размерности при двойственных группах коэффициентов; в изоморфизме между группами гомологии и когомологии дополнительных размерностей многообразия (Пуанкаре двойственность);в изоморфизме между группами гомологии и когомологии взаимно дополнительных множеств пространства (Александера двойственность);во взаимозаменяемости в определенных ситуациях гомотопических и когомотопических, а также гомологич. и когомологич. групп, к-рая без дополнительных ограничений на размерность пространства имеет место не для обычных, а для S- гомотопич. и S-когомотопич. групп (см. S-двойственность).

Д. между гомолог и ями и когомологиями состоит в следующем. Пусть {Н _r( Х, А), f_*, д}- произвольная гомологии теория над нек-рой допустимой категорией пар пространств и их отображений, т. е. система, удовлетворяющая Стинрода- Эйленберга аксиомам теории гомологии с дискретной или компактной абелевой группой Н _r( Х, А). Тогда система {Н ^r( Х, А), f*, d}, где Н ^r( Х, А) - группа характеров группы Н _r( Х, А), а f* и d - гомоморфизмы, сопряженные соответственно гомоморфизмам f* и д, удовлетворяет аксиомам Стинрода - Эйленберга теории гомологии и стало быть представляет собой теорию когомологии над той же категорией с компактной или, соответственно, дискретной группой Н ^r( Х, А). Подобным же образом для каждой теории когомологии может быть построена двойственная теория гомологии. Следовательно, теории гомологии и когомологии составляют двойственные пары; при этом; преобразование одной теории в другую, с точностью до естественных эквивалентностей, является инволюцией. Для любой теоремы теории гомологии, т. е. теоремы относительно системы {Н _r( Х, А), f, д}, существует двойственное утверждение относительно системы {Н ^r( Х, А), f*, d}, т. е. теорема теории когомологии, и наоборот. При переходе к двойственному утверждению группы заменяются их группами характеров, гомоморфизмы меняют направление, подгруппы заменяются факторгруппами, и наоборот. Примерами могут служить сами аксиомы Стинрода - Эйленберга. В случае конкретных категорий пли теорий построение этой Д. осуществляется, напр., следующим образом. Пусть K={t^r} (конечный) комплекс. За произведение r-мерной цепи с _r комплекса Кнад дискретной или компактной группой Xкоэффициентов и r-мерной коцепи G^r комплекса Кнад группой X* коэффициентов, двойственной Xв смысле теории характеров, принимается число mod 1

Это произведение определяет умножение класса гомологии с классом когомологии и превращает r-мерные группы гомологии и когомологии в группы характеров одна другой. На бесконечных комплексах имеются группы двух видов - проекционные и спектровые. Спектровые группы гомологии являются пределами прямых спектров групп гомологии замкнутых подкомплексов, упорядоченных по возрастанию, а проекционные группы гомологии - гомологич. группами пределов прямых спектров из групп цепей указанных подкомплексов. Группы когомологии получаются аналогично, как пределы соответствующих обратных спектров. При дискретной группе коэффициентов обе гомологич. группы совпадают и дают группу гомологии конечных циклов, а при компактной группе совпадают когомологич. группы и дают группу когомологии бесконечных коциклов. Д. в случае конечных комплексов порождает Д. проекционных групп между собой и спектровых групп между собой, а эти последние Д. (посредством сингулярных комплексов, нервов покрытий и т. п.) - Д. r-мерной проекционной (соответственно спектровой) группы гомологии H_r(R, X )пространства Rнад дискретной или компактной группой Xкоэффициентов в какой-либо теории ( сингулярных гомологии, Александрова- Чеха гомологии и когомологий, Въеториса гомологии и т. п.) с r-мерной проекционной (соответственно спектровой) группой когомологий H^r(R, X* )в той же теории над группой X*, двойственной X(см. [1], [3], [6], [9]):

Соотношения между инвариантами, выражающими связности дополнительных размерностей многообразия, были установлены в первой же работе по алгебраич. топологии - в статье А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1895), где было показано, что для n-мерного ориентируемого многообразия его р-мерное и (n- р)-мерное числа Бетти равны друг другу, равно как и p-мерный и (п- р- 1)-мерный коэффициенты кручения. Эта теорема была усилена О. Вебленом (О. Veblen, 1923), сформулировавшим ее для баз гомологии, а применение групп когомологий придало ей форму, полнее выражающую содержание этой Д. Для получения этой формы следует поставить в соответствие каждой r-мерной цепи с _r, заданной на какой-либо триангуляции Кгомологического "-мерного ориентированного многообразия М ⁿ и принимающей значения из дискретной или компактной группы Xкоэффициентов (п- р)-мерную коцепь с ^n-p клеточного комплекса K* из барицентрических звезд К, принимающую на какой-либо звезде то значение, которое с. имеет на соответствующем этой звезде симплексе. Указанное соответствие, в силу совпадения групп комплексов Ки K*, определяет изоморфизм групп гомологии и когомологий дополнительных размерностей многообразия М ⁿ:

При этом Xможет быть и модулем, а в случае неориентируемого многообразия теорема верна по модулю 2. Замена группы Н ^п-r( М ^п, X )двойственной ей группой Н _п-r( М ⁿ, X* )приводит к Д. [1]:

представляющей интерес еще и тем, что при ней произведением оказывается индекс пересечения циклов, произвольно выбранных из перемножаемых классов (см. [1], [И], [12], [13], [15], [16]).

Большой этап, вначале теоретико-множественный, по отысканию топологич. свойств множества, к-рыe определялись бы топологич. свойствами его дополнения, завершился теоремой, полученной Дж. Александером (J. Alexander, 1922) и утверждающей, что r-мерное число Бетти mod 2 полиэдра, лежащего в n-мерной сфере, равно (n-r-1)-мерному числу Бетти mod 2 дополнения (см. Александера двойственность).,

В свою очередь, эта теорема положила начало ряду исследований, в сильной мере повлиявших на развитие всей алгебраич. топологии. Исследования велись в направлении обобщения классов пространств (плоскость, евклидовы пространства, сферы и многообразия любых размерностей, локально компактные пространства и т. д.), их подмножеств (полиэдры, замкнутые подмножества, произвольные подмножества) и областей коэффициентов (целые числа по модулю 2, группа целых чисел, поле рациональных чисел, другие конкретные группы и поля, произвольная абелева группа, топологич., в основном компактные, абелевы группы и т. п.), для к-рых имеет место двойственность Александера, а также усиления тех соотношений, к-рые связывают инварианты взаимно дополнительных множеств (равенство чисел Бетти, изоморфизм групп, Д. топологических групп, естественные и связывающие гомоморфизмы и т. п.). Ряд полученных результатов может быть представлен в виде диаграммы (см. [1] [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [11]):

где X - дискретная или компактная группа коэффициентов, Х*|Х, А и В-взаимно дополнительные множества n-мерного сферич. многообразия М ^п, Н _r( А, X )и Н ^r( А, X*)- r-мерные группы гомологии и когомологий (с компактными носителями) Александрова - Чеха множества Анад Xи соответственно X*, а Н _п-r-1 ( В, X*) u H^n-r-1(B, X )суть ( п-r-1)-мерные спектровые группы гомологии и когомологий Александрова - Чеха множества Внад X* и соответственно над X. Указанные в диаграмме соотношения, полученные различными авторами и различными способами, согласованы в том смысле, что соответствующие при изоморфизмах элементы представляют собой один и тот же характер остальных групп при вертикальных и горизонтальных Д. Таким образом, они являются различными формами одной и той же теоремы двойственности. Верхняя двойственность есть Д. зацепления, т. е. при ней произведением элементов является зацепления коэффициент циклов, произвольно выбранных из перемнежаемых классов или, в случае компактной группы X*, определяется по непрерывности зацеплением циклов. В приведенной диаграмме группы первого столбца могут быть заменены (r+1)-мерными группами гомологии и когомологии Стинрода с компактными носителями, а группы второго столбца - (n-r-1)-мерными проекционными группами гомологии и когомологий Александрова - Чеха; тогда, в случае компактного Аизоморфизм главной диагонали дает теорему двойственности Стинрода в ее первоначальном виде, если когомологич. группу множества Взаменить, но теореме Пуанкаре, (r+ 1)-мерной группой гомологии бесконечных циклов. Если группа Xкомпактна, то диаграммы изоморфны; если, кроме того, и множество Акомпактно, то двойственность верхней строки диаграммы представляет собой теорему, полученную Л. С. Понтрягиным в 1934 ([1], см. Понтрягина двойственность). О дальнейших обобщениях и направлениях см. [10], [14], [15], [16].

Важным видом двойственности Александера, касающимся связывающего гомоморфизма и аксиомы точности, является изоморфизм между группами гомологии, а также между группами когомологий соседних размерностей. Эти изоморфизмы, установленные П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым, утверждают, что r-мерная группа гомологии (соответственно когомологий) замкнутого множества Анормального локально бикомпактного пространства R, ацикличного в размерностях r и r+1, над компактной (соответственно дискретной) группой Xизоморфна (r+1)-мерной группе гомологии (соответственно когомологий) дополнения:

и

Из этих изоморфизмов выводится теорема Понтрягина. П. С. Александров [2] получил эти изоморфизмы из общих соотношений Д., связывающих группы гомологии и когомологий взаимно дополнительных множеств и пространства, а также ядра, образы и факторгруппы этих групп при их естественных гомоморфизмах вложения и высечения. Эти соотношения несут также много другой важной информации о расположении множеств в пространстве. П. С. Александров [2] получил их с помощью спектровых групп гомологии и когомологий относительно так называемых особых подкомплексов нервов, состоящих из симплексов, замыкания вершин которых некомпактны. А. Н. Колмогоров доказал вышеуказанные изоморфизмы Д. посредством так называемых функциональных групп гомологии и когомологий (см. Колмогорова двойственность). Указанные выше и другие Д. (ндпр., Лефшеца двойственность )связаны между собой различными соотношениями. Они могут быть рассмотрены и как следствия нек-рой общей Д., в к-рой участвуют так называемые внешние группы множества, являющиеся прямым пределом групп когомологин окрестностей этого множества, упорядоченных по вложению (см. [3], [4], [5], [6], [7], [12], [13]). Связи между различными Д. приобретают новый вид при их рассмотрении с помощью пучков теории.

Лит.:[1] Понтрягин Л. С, "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, в. 2, с. 21-44; [2] Александров П. С, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1942, т. 6, с. 227-82; [3] его же, "Матем. сб.", 1947, т. 21, № 2, с. 161-232; [4] его же, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1955, т. 48, с. 1 - 108; 1959, т. 54, с. 1 - 136; [5] Чогошвили Г. С, "Докл. АН СССР", 1946 т. 51, № 2, с. 87-90; [6] его же, "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 4, с. 23-34; [7] KaplanS., "Trans. Amer. Math. Soc", 1947, v. 62, p. 248 - 71; [8] Ситников К. А., "Матем. сб.", 1954, т. 34, с. 3-54; 1955, т. 37, с 385-434; 1959, т. 48, с. 213-26; [9] Берикашвили Н. А., "Тр. Тбил. матем. ин-та", 1957, т. 24, с. 409-84; [10] Баладзе Д. С, там же, 1972, т. 41, с. 41-83; [11] Bourgin D., Modern Algebraic Topology, N. Y.-L., 1963; [12] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [13] Switzer R. M., Algebraic Topology Homotopy and Homology, B.-Heid.-N. Y., 1975; [14] Скляренко Е. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, № 4, с. 831-43; [15] Borel А., Мооrе J. С, "Michig. Math. J.", 1960, v. 7, p. 137-60; [16] Bredon G. E., Sheaf Theory, N. Y., [1967].

Г. С. Чогошвили.

3) Д. в теории аналитических пространств - двойственность между различными векторными топологич. пространствами когомологнй комплексных пространств. Имеются три типа теорем Д., соответствующие двойственностям Пуанкаре, Лефшеца и Александера - Понтряпша в топологии, но относящиеся к пространствам когомологий Н ^р _Ф( Х, F )комплексного пространства Xсо значениями в когерентном аналитич. учке F и носителями в семействе Ф или их факторпространствам (см. Когомологий со значениями в пучке).

Первому типу принадлежит теорема двойственности Серра [1]. Пусть X- комплексное многообразие размерности псо счетной базой, W.- пучок голоморфных дифференциальных форм степени п,a F- локально свободный аналитич. учок на X. Для каждого целого р, определено билинейное отображение

которое можно записать как композицию U-умножения

(созначает семейство компактных носителей) и линейной формы sна называемой следом и имеющей вид

где w - форма типа (u, n) с компактным носителем, отвечающая классу в силу теоремы Дольбо (см. Дифференциальная форма). Теорема двойственности Серра утверждает, что если наделить пространства когомологий канонической локально выпуклой топологией (см. Когерентный аналитический пучок), то отображение (*) непрерывно по первому аргументу и, при условии отделимости пространства устанавливает изоморфизм векторных пространств:

Пучки и можно поменять ролями, поскольку операция на локально свободных пучках инволютивна.

В частности, если многообразие Xкомпактно, Кканонический, a D- любой дивизор на X, то из теоремы Серра вытекает равенство размерностей пространств п к-рое часто используется при вычислениях с когомологиями. Известна аналогичная теорема Д. для неособых проективных алгебраич. многообразий над произвольным полем (см. Двойственность в алгебраич. геометрии).

В случае, когда - произвольный когерентный аналитич. учок на многообразии X, имеет место естественная топологич. Д. между отделимыми пространствами, ассоциированными с векторными топологич. пространствами и где Ф - семейство замкнутых носителей, Y - семейство компактных носителей или наоборот, а через обозначены производные функтора При этом пространство Н ^Р _Ф( Х, F) отделимо одновременно с (см. [2], [3]). Для компактного Xотсюда следует изоморфизм конечномерных пространств

Если X- многообразие Штейна, то получается топологич. Д. между и и между и

Имеется также обобщение этих результатов на случай комплексных пространств с особенностями [4] и на относительный случай [5], аналогичное соответствующим теоремам Д. в алгебраич. геометрии.

Аналогом теоремы Лефшеца является следующая теорема Д. [3]: пусть X- комплексное многообразие со счетной базой размерности п, К- штейнов компакт в X. Для любого когерентного аналитич. учка Fна Xи любого целого пространство имеет топологию типа DFS (сильно сопряженное к пространству Фреше - Шварца), а его сопряженное пространство алгебраически изоморфно Другая теорема того же типа [6]: в тех же предположениях, если открыто, то пространство имеет топологию типа QFS (факторпространства Фреше - Шварца), имеет топологию типа QDFS (факторпространства типа DFS), а ассоциированные с ними отделимые пространства находятся в топологич. Д. Пространство отделимо одновременно с

Третий тип теорем Д. представлен следующей теоремой [8]: для любого открытого подмножества YМХ= СР ¹ - сильное сопряженное к пространству Г(Y, O_X/ Г(X, О _X ))изоморфно Эта теорема допускает следующее обобщение [7]: пусть X- n-мерное комплексное многообразие, счетное на бесконечности, открыто, - когерентный аналитич. пучок на X,- целое число. Рассматриваются канонич. отображения векторных топологич. пространств

Для того чтобы отделимое пространство, ассоциированное с Соkеr b, было изоморфно сильному сопряженному к Сокег а, необходимо и достаточно, чтобы Кеr gбыло замкнуто. (Известен пример, когда Кеr g не замкнуто.) В частности, если пучок локально свободен и

то отделимые пространства, ассоциированные с

и находятся в Д.

Лит.:[1] Serre J.-P., "Comm. math, helv.", 1955, t. 29, p. 9-26; [2] Mai grange В., Seminaire Bourbaki, 1962/63, p. 246; [3] Banica C., StanasilaO., Metode algebrice in teoria globala a spatiilor complexe, Bucuresti, 1974; [4] Ramis J. P., Ruget G., "Publ. IHES", 1970, t. 38, p. 77 - 91: [5] иx жe, "Invent, math.", 1974, Bd 26, № 2, S. 89 -131; [6] Головин В. Д., "Функциональный анализ", 1971, т. 5, № 4, с. 66; [7] его же, "Матем. заметки", 1973, т. 13, № 4, с. 561; [8] Grоthendiеоk A., "J. reine und angew. Math.", 1953, Bd 122, № 1, S. 35.

В. П. Паламодов.

4) Д. в теории аналитических функций.

а) Преобразование Бореля. Э. Борелю (Е. Borel, 1895) принадлежит идея преобразования каждого ряда вида:

в ряд

и обратно, при условии

Так устанавливается отношение Д. между функциями, аналитическими в окрестности бесконечно удаленной точки |z|>s и целыми функциями экспоненциального типа а. На этом пути, напр., получается теорема Пойа: пусть k(j) - опорная функция выпуклой оболочки множества особенностей функции а(г) (при аналитическом продолжении на полуплоскость вида Re(ze^-ij)>c,a

- индикатор роста целой функции A(г); тогда

В силу этого отношения двойственности задача аналитич. родолжения функции a(z)в круг |z|<s эквивалентна изучению роста соответствующей целой функции A(z) по различным направлениям.

б) Д. в пространствах аналитич, функций. Пусть G- открытое множество расширенной комплексной плоскости С и A(G)- пространство всех аналитических в Gфункций с топологией, задаваемой системой норм

где {К _п}- возрастающая система компактных множеств, содержащихся в Gи исчерпывающих G; таким образом, сходимость в A(G)означает равномерную сходимость на всех компактных подмножествах G. Пусть A₀(G)- подпространство A(G), для функций к-рого , и F- компактное подмножество Рассматривается система всех открытых множеств и множество функций

Две функции f₁(z) и f₂ (z) из этого множества считаются эквивалентными, если совпадают их сужения на нек-рое множество Введенное отношение эквивалентности разбивает всю рассматриваемую совокупность на классы Каждый класс наз. локально аналитической на Fфункцией, и совокупность таких функций обозначается A(F). Класс A(F)естественным образом превращается в линейное пространство, и в нем вводится топология индуктивного предела последовательности нормированных пространств В _п. Последние строятся следующим образом. Пусть {G_n} - убывающая последовательность множеств из такая, что и

Тогда В _п- пространство ограниченных в G,, аналитич. функций с нормой

Простейший факт оД. пространств аналитических функций состоит в следующем. Пусть G- открытое множество и (для определенности) Двойственным (сопряженным) к пространству A₀(G). (в смысле теории линейных топологич. пространств) является пространство A(F). Эта Д. устанавливается следующим образом: если L(f) - непрерывный линейный функционал над A₀(G), то существует единственный элемент такой, что

где g - некоторый (сложный) контур; идущий в G и охватывающий F, а не зависит от

Пространства (Е)могут быть определены для произвольных множеств а не только для рассмотренных здесь случаев, когда E=G - открытое множество и E=F- компакт. Дальнейшие обобщения: рассмотрение множеств на ри меновых поверхностях, пространств функций многих комплексных переменных, пространств векторнозначных аналитич. функций (со значениями в линейных топологич. пространствах).

Развитие теории Д. пространств аналитич. функций, с одной стороны, стимулировалось развитием общей теории Д. линейных топологич. пространств, а с другой стороны, само стимулировало развитие общей теории выявлением глубоких конкретных закономерностей. Применения Д. пространств аналитич. функций многообразны: вопросы интерполяции и аппроксимации (см. ниже), аналитическое продолжение, разделение и устранение множеств особенностей, интегральные представления различных классов функций.

в) Д. между теоремами полноты и единственности. Полнота системы элементов {f_n} какого-либо локально выпуклого пространства Xимеет место в том и только том случае, когда для произвольного линейного непрерывного в Xфункционала

из п=1, 2, ..., следует Этот факт приводит к установлению связи между проблемами полноты в пространствах аналитич. функций и разного рода теоремами единственности для аналитич. функций. С функционалом связывается (ср. п. 1) нек-рая аналитнч. функция F(z). Условие n=1, 2, ... , приводит к равенству нулю F(z) в нек-рых точках или к равенству нулю коэффициентов F(z). Теоремы единственности позволяют заключить, что F(z)=0, а затем и что функционал Для пространств аналитич. функций в круге был сформулирован следующий принцип двойственности проблем единственности и полноты. Пусть А _R и А _р- соответственно пространства функций, аналитических в кругах: |z|<R и |z|<P, где 0<R, и F(z,z) - функция, аналитическая в бицилиндре: |z| <R, |z|<Р. Пусть Lи - линейные функционалы, определенные в A_r и и пусть и - подмножества функций, представимых соответственно в виде и LF(z, z). Последовательность функций Z будет полной в тогда и только тогда, когда для каждой изи=0, 1, 2, ..., следует: j(z)=0.

В частности, когда и оба множества Oи Qсовпадают с совокупностью всех целых функций экспоненциального типа.

г) Д. в экстремальных задачах теории функций. Известно, что задачи наилучшего приближения в нормированных пространствах двойственно связаны с нек-рыми линейными экстремальными задачами. Так, если Е- подпространство в нормированном пространстве Xи w - произвольный элемент X, то

где - аннулятор Е, т. е. совокупность линейных функционалов l, обращающихся в нуль на элементах Е. Соотношение (1), устанавливаемое на основании теоремы Хана - Банаха, оказалось впоследствии частным случаем двойственных связей экстремальных задач математич. программирования. Пусть Gесть n-связная область, граница дG к-рой состоит из спрямляемых контуров, В ¹- класс аналитических в Gфункций f(z),E¹- класс аналитических в Gфункций, представимых интегралом Коши через свои граничные значения, w(z) - какая-либо интегрируемая функция на дG. Имеет место равенство:

Слева в этом соотношении стоит линейная экстремальная задача для ограниченных функций (напр., при получают задачу о - задачу о "лемме Шварца" - в многосвязной области); справа - задача наилучшего приближения произвольной функции w(z) на дG граничными значениями аналитич. функций в интегральной метрике. Соотношение (2) служит отправным пунктом для проникновения в каждую из двух экстремальных задач, содержащихся в нем: с его помощью устанавливаются характеристич. свойства экстремальных функций и исследуется вопрос об их единственности и т. д. Функция f* (z) оказывается наделенной важными геометрич. свойствами: в задаче о лемме Шварца она отображает Gна n-листный круг; в других задачах с w(z), аналитической на дG, функция f*(z) отображает Gна m>п- листный круг (см. [2] - [4]).

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Избранные главы теории аналитических функций, М., 1976; [2] Итоги науки. Математический анализ. 1964, М., 1966, с. 76-164; [3] Итоги науки. Математический анализ. 1967, М., 1969, с. 75-132; [4] Итоги науки. Математический анализ. 1963, М., 1965, с. 5-80; [5] Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного, М., 1960, с. 77-85,

А. И. Маркушевич, С. Я. Хавинсон.

продолжение Двойственность...

5) Д. в теории топологических векторных пространств - тройка {F, G, f}, в к-рой F, G- векторные пространства над полем К, f- билинейный функционал (форма) в обладающий свойством отделимости: если f(x, y)=0 для каждого у, то если f(x, y)=0 для каждого х,то Говорят также, что форма fосуществляет Д., а пространства F, G находятся в Д., или образуют дуальную пару; если f фиксирована, то пишут f(x, y)=( х, у). Важнейшим примером является естественная двойственность: F-(F,t) - локально выпуклое топологическое векторное пространство с топологией т, G=(F, t)' - сопряженное пространство всех линейных т-непрерывных функционалов в Fи ( х, х') -х' (х)при свойство отделимости для этой формы (. , .) вытекает, напр., из локальной выпуклости топологии т (теорема о достаточном числе функционалов - следствие теоремы Хана - Банаха). Теория Д. изучает в основном способы построения объектов в Fили G, дуальных (двойственных) заданным относительно формы (. , .); соответствия между свойствами взаимно дуальных объектов; топологии, порождаемые Д. Основным инструментом этого изучения является аппарат поляр (при K=R или С полярой множества А, наз. множество

Д. порождает различные локально выпуклые топологии на F(и равным образом на G);такие, напр., как слабая топология s(F, G )(порожденная заданной Д.), задаваемая семейством полунорм |(Х, у)|, это - слабейшая топология, при к-рой все отображения ( Х, у )непрерывны; топология Макки m(F, G )с базой окрестностей нуля, образованной полярами А° абсолютно выпуклых s(G, F -компактных подмножеств Ав G;сильная топология t* (F, G), база к-рой образована полярами А ⁰ ограниченных подмножеств А в (G,s(G, F)). Для любого А, множество A⁰⁰ является выпуклой s(F, G )-замкнутой оболочкой множества (теорема о биполяре). Пространство Gсовпадает с (F,s(F, G))' (основная теорема теории Д., показывающая, что любую Д. можно интерпретировать как естественную). Пространство (F', s(F', F))наз. слабым сопряженным с F.

Пусть F- локально выпуклое пространство над R или С. Для ограниченности множества А, необходимо и достаточно каждое из условий: а) Аограниченно в слабой топологии; б) А ⁰ - поглощающее множество. Если А- окрестность, то А ⁰ является s(F', F -компактом. Метризуемое пространство Fполно в том и только в том случае, когда замкнутость множества А, в топологии s(F', F)равносильна замкнутости в той же топологии всех пересечений где U- окрестность нуля в F(теорема Крейна - Шмульяна). Если F- полное сепарабельное пространство и f - линейный функционал в F', то тогда и только тогда, когда из условия lim x_n=O в топологии s(F', F )следует (теорема Гротендика). Подмножество А полного пространства Fотносительно s(F, F' )-компактно, если оно относительно s(F, F' )-секвенциально компактно (теорема Эберлейна). Выпуклое подмножество Апространства Фреше над Rs(F, F' )-компактно тогда и только тогда, когда для любого f,существует а,такое, что (теорема Джеймса). Для того чтобы (F,t)' = G, необходимо и достаточно условие: топология т не слабее топологии s(F, G )и не сильнее топологии m(F, G) (теорема Макки - Аренcа, дающая важное в приложениях описание топологий, сохраняющих Д.). Каждое из следующих условий на пространство (F, х )достаточно для совпадения т с топологией Макки: a) F- бочечное пространство, б) F- борнологическое пространство (в частности, метризуемое). Сильная топология t* (F, G), вообще говоря, не сохраняет Д.; если X = G локально выпукло и X' = F, то пространство Х*=(X', т* (X', X ))наз. сильным сопряженным с X, и в случае, когда т* (X', X )сохраняет Д. (т. е. Х*' = Х), пространство Xназ. полурефлексивным (X- рефлексивное пространство, если Х** = Х).

Если Н-подпространство F, то {H, G/H⁰} и {F/H, H⁰}- дуальные пары относительно естественных факторизации формы (Х, Х). Если задано семейство Д. {F_a, G_a, (Х, Х)_a}, то Д. произведения пространств F= П _aF_a и подпространства G= П*_aG_a всех финитных семейств из U_aG_a осуществляет форма

где

Подобным же образом описывается Д. индуктивного и проективного пределов Наличие в пространствах F, F_a топологий, сохраняющих Д., позволяет истолковать эти утверждения как описание естественных Д. для П _aF_a (тихоновская топология), F/H (фактортопология), Н(индуцированная топология), и lim pr F_a, соответственно. В случае нормированного пространства Fестественный изоморфизм Н* и F*/H⁰ является изометрией:

Использование Д. в конкретных задачах линейного анализа пропорционально той роли, какую играют в этих задачах линейные (непрерывные) функционалы. Особенно заметными (если не определяющими) являются идеи теории Д. в следующих разделах анализа: в исследовании линейно топологических (метрических) свойств локально выпуклых пространств и, в частности, описании естественной Д. для данного пространства [1] -[3J, [5], в теории обобщенных функций [4], в теории экстремальных задач [6] - [7], в спектральной и структурной теории линейных операторов [1], [2] в теоремах полноты и единственности в теории аналитических функций, в теории аналитических функционалов Фантапье [8], см. также Двойственность в теории аналитических функций.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [2] Робертсон А. П., Робертсон В.-Дж., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1967; [3] Шефер Х., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [4] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., т. 1, М., 1982, т. 2, М., 1966; [5] Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; [6] Иоффе А. Д., Тихомиров В. М., Теория экстремальных задач, М., 1974; [7] Рокафеллар Р., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973; [8] Хавин В. П., Итоги науки. Математический анализ. 1964, М., 1966, с. 76-164; [9] Хавинсон С. Я., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. 2, с. 25-98; [10] Diesteд J., Geometry of Banach spaces-selected topics, В.-N.Y., 1975.

H. К. Никольский.

6) Д. в экстремальных задачах и выпуклом анализе - особенность выпуклых множеств, выпуклых функций и выпуклых экстремальных задач, состоящая в возможности задавать их двояким образом - в основном и сопряженном пространствах. Замкнутые выпуклые множества в локально выпуклом топологич. векторном пространстве допускают двойственное описание: они совпадают с пересечением замкнутых полупространств, их содержащих. Это позволяет связать с каждым выпуклым множеством Ав векторном пространстве Xдвойственный объект в сопряженном пространстве - его поляру А ⁰= Замкнутые выпуклые функции (т. е. функции с выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально выпуклом топологич. векторном пространстве также допускают двойственное описание: они являются поточечными верхними гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая Д. позволяет связать с каждой выпуклой функцией f : X-> R двойственный объект - сопряженную функцию, заданную на сопряженном пространстве X* и определяемую формулой

Поточечные верхние грани линейных функций в локально выпуклом топологич. векторном пространстве суть выпуклые замкнутые однородные функции, и в этом факте заложена Д. между выпуклыми множествами и выпуклыми однородными функциями. В основании описанных Д. лежат теоремы Хана - Банаха о продолжении линейных функционалов и теоремы отделимости выпуклых множеств.

Сущность двойственного задания выпуклых множеств и выпуклых функций находит свое отражение в инволютивности оператора полярности А ⁰⁰=А и сопряжения f**=f, имеющей место для выпуклых замкнутых множеств, содержащих нуль, и выпуклых замкнутых функций, всюду больших -. Последний результат, касающийся функций (наз. теоремой Фенхеля - Моро), порождает многочисленные теоремы Д. для экстремальных задач линейного и выпуклого программирования. Примером пары двойственных задач являются следующие две задачи линейного программирования

Здесь

Для пары двойственных задач линейного программирования имеет место следующая альтернатива: либо значения задач конечны и равны и в обеих задачах существует решение, либо в одной из задач множество допустимых значений пусто или значение задачи бесконечно .

Обычный прием построения двойственной задачи состоит в следующем. Задача минимизации

где X- линейное пространство,включается в класс подобных ей задач, зависящих от параметра:

где Y- некоторое другое линейное пространство, F(x, 0)=f(x)(функцию Fназ. возмущением f). Обычно Fпредполагается выпуклой. Двойственной к задаче по отношению к данному возмущению наз. задача

где F*- функция, двойственная (сопряженная) о Fв смысле Лежандра - Юнга - Фенхеля. Для простейших задач выпуклого программирования типа

где X- линейное пространство, выпуклые функции на X, В- выпуклое множество в X(частными случаями (3) являются задачи линейного программирования), обычно применяются следующие стандартные возмущения, зависящие от параметров

y=( у ₁,..., y_m), т, Теоремы двойственности для общих классов задач выпуклого программирования утверждают, что при нек-рых допущениях на возмущение Fзначения задач (2) и (2*) совпадают, и более того, решение одной из задач является множителем Лагранжа для другой.

Лит.:[1] Minkowski H., Geometrie der Zahlen, Lpz.- В., 1910; [2] eго же, Gesammelte Abhandlungen, Bd 1-2, Lpz.-В., 1911; [3] Fenchel W., "Canad. J. Math.", 1949, v. 1, p. 73-77; [4] Рокафеллар P., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973; [5j Ekelandl., TemanR., Convex Analysis and Variational Problem, N. Y., 1976; [6] Иоффе А. Д., Тихомиров В. М., Теория экстремальных задач, М., 1974.

В. М. Тихомиров.

7)Д. конечных абелевых групп - классический прототип общей Понтрягина двойственности и различных более поздних ее модификаций. Относится к свойствам изоморфного соответствия между конечной абелевой группой Аи группой А= Ноm ( А , k* )ее характеров со значениями в мультипликативной группе k* алгебраически замкнутого поля кхарактеристики, не делящей порядок группы А(см. Характеров

группа). Естественное отображение определенное правилом для всех также является изоморфизмом, причем для любой подгруппы имеет место равенство где

Соответствие устанавливает двойственность между решетками подгрупп групп Это соответствие взаимно однозначно и обладает свойствами

Лит.:[1] Понтрягин Л. С, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973, гл. 6; [2] Huppert В., Lndliche Gruppen I, В., 1967, S. 688 -96.

А. И. Кострикин.