Формула Лефшеца

Число Лефшеца — инвариант отображения топологического пространства в себя. Пусть X — топологическое пространство, $f:X\to X$ — непрерывное отображение, H _* (X,k) — группы гомологий X с коэффициентами в поле k. Пусть t_n — след линейного преобразования

$f_*:H_n(X,k)\to H_n(X,k)$

По определению, число Лефшеца отображения f есть

$\Lambda(f,X)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^nt_n$

Число Лефшеца определено если общий ранг групп H _* (X,k) = 0 конечен, и в этом случае не зависит от выбора k.

Свойства

• Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике X.

Формула Лефшеца

Пусть X — связное ориентируемое n-мерное компактное топологическое многообразие или n-мерный конечный клеточный комплекс, $f : X \to X$ — непрерывное отображение.

Предположим, что все неподвижные точки отображения $f : X \to X$ изолированы.

Для каждой неподвижной точки $x\in X$, обозначим через i(x) её индекс Кронекера (локальная степень отображения f в окрестности точки x). Тогда формула Лефшеца для X и f имеет вид

∑	i(x) = Λ(f,X).
{x | f(x) = x}

История

Эта формула была установлена впервые Лефшецeм для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и для позже конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения n-мерной сферы в себя.