ВЕЙЛЯ КОГОМОЛОГИИ

- когомологии алгебраич. многообразий с коэффициентами в поле нулевой характеристики, обладающие формальными свойствами, необходимыми для получения Лефшеца формулы для числа неподвижных точек. Необходимость такой теории была высказана А. Вейлем [1], показавшим, что рациональность дзета-функций многообразия и L- функций многообразия над конечным полем следует иа формулы Лефшеца, а остальные гипотезы о -функции естественно формулируются в когомологических терминах. Пусть многообразие Xесть связная гладкая проективная схема над фиксированным алгебраически замкнутым полем kи пусть К - некоторое поле характеристики 0.

Тогда когомологиями Вейля с полем коэффициентов Кназывается контра вариантный функтор из категории многообразий в категорию конечномерных градуированных антикоммутативных K-алгебр, удовлетворяющий следующим условиям:

1) Если изоморфно К, и отображение

определенное умножением в невырождено при всех i;

2) (формула Кюндета);

3) Отображение циклов. Существует функториальный гомоморфизм группы алгебраич. циклов Xкоразмерности в , переводящий прямое произведение циклов в тензорное произведение, и нетривиальный в том смысле, что (для точки Р).. превращается в канонич. вложение в наз. i-м числом Бетти многообразия X. Примеры. Если , то классические когомоло-гии комплексных многообразий с коэффициентами в являются В. к. Если l - простое число, отличное от характеристики поля k, то этальные l-адические кого-мологии

являются В. к. с коэффициентами в поле . Для В. <к. верна формула Лефшеца

где - индекс пересечения в графика Г морфизма ис диагональю , интерпретируемый также как число неподвижных точек эндоморфизма и, а - след эндоморфизма u_i являющегося ограничением ина . Более того, эта формула верна также для соответствий, т. е. элементов .

Лит.:.[1] Wеil A., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1949, v. 55, p. 497-508; [2] Dix exposes sur la cohomologie des schemas, P., 1968, p. 359-86. Н. И. Данилов.