МОНОДРОМИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

- преобразование слоев (или их гомотопич. инвариантов) расслоенного пространства, соответствующее нек-рому пути в базе. Более точно, пусть - локально тривиальное расслоение и пусть - путь в Вс началом в точке и концом в . Тривиализация расслоения определяет гомеоморфизм слоя на слой.. При изменении тривиализации гомеоморфизм заменяется на гомотопически эквивалентный гомеоморфизм; это же происходит и при замене пути угомотопным путем. Гомотопич. тип гомеоморфизма и наз. преобразованием монодромии, соответствующим пути . Когда а=b, т. е. когда путь является петлей, М. п. - гомеоморфизм слоя в себя (определенный, опять-таки, с точностью до гомотопии). Это отображение, а также гомоморфизмы, индуцированные им в гомологиях и когомологиях слоя F, также наз. М. п. Сопоставление петле преобразования задает представление фундаментальной группы

Понятие М. п. возникло при изучении многозначных аналитич. ций (см. Монодромии теорема). Если - риманова поверхность такой функции, то выбрасыванием из сферы Римана особых точек функции получается неразветвленноо накрытие. М. п. в этом случае наз. также преобразованием наложения или скольжения.

Наиболее часто М. п. возникает в следующей ситуации. Пусть - диск в комплексной плоскости, - аналитич. ространство, а - собственное голоморфное отображение, - слой Уменьшая, если нужно, радиус D, можно добиться, чтобы расслоение стало локально тривиальным. М. п. Т, связанное с обходом вокруг О в D, наз. монодромией семейства в точке ; оно действует в когомологиях (или гомологиях) слоя где Более других изучен случай, когда пространство Xгладкое, как и все слои , Действие монодромии Тна пространстве в этом случае квазиунипотентно [4], т. е. существуют целые положительные числа ки N такие, что . В свойствах монодромии проявляются многие характерные черты вырождения семейства Монодромия семейства тесно связана со смешанной структурой Ходжа в когомологиях (см. [5] - [7]).

В случае, когда особенности изолированы, М. п. может быть локализовано. Пусть х- особая точка отображения f (или, что то же, слоя Х _о). и пусть В- шар достаточно малого радиуса в Xс центром в х. Уменьшая, если нужно, радиус D, можно определить локальную тривиализацию расслоения согласованную на границе с тривиализацией расслоения Это дает диффеоморфизм Тмногообразия "исчезающих циклов" в себя, тождественный на его крае и называемый локальной монодромией f в точке х. Действие М. п. на когомологиях отражает важнейшее свойство особенности отображения f в точке х(см. [1], [2], [7]). Известно, что многообразие гомотопически эквивалентно букету n-мерных сфер, где - число Милнора ростка fв х.

Простейшим является случай особенности Морса, когда функция f в окрестности точки хприводится к виду В этом случае , а внутренность многообразия диффеоморфна касательному расслоению к n-мерной сфере . Исчезающим циклом наз. образующая группы когомологий с компактными носителями определенная с точностью до знака. Вообще, если - собственное голоморфное отображение (как выше, имеющее единственную морсовскую особенность в точке х), то исчезающим в точке хциклом наз. также образ цикла при естественном отображении В этом случае гомоморфизм специализации является изоморфизмом при и последовательность

точна. М. п. Тдействует на тривиально при а его действие на задается формулами Пикар а-Лефшеца : для

Знаки в этой формуле и значения собраны в таблице.

М. п. Тсохраняет форму пересечения на . Исчезающие циклы и М. п. используются в теории Пикара - Лефшеца, сравнивающей когомологии проективного комплексного многообразия и его гиперплоского сечения. Пусть - гладкое многообразие размерности - пучок гиперплоских сечений многообразия Xс базисным множеством (осью пучка) ; и пусть выполняются следующие условия: а) - гладкое подмногообразие в X;б) существует такое конечное множество что гладкое при в) для многообразие имеет единственную невырожденную квадратичную особую точку , причем . Пучки с такими свойствами (пучки Лефшеца) всегда существуют. Пусть - моноидальное преобразование с центром в оси пучка - морфизм, определяемый пучком ; при этом для всех . Фиксируется точка ; тогда М. п. задает действие фундаментальной группы на (нетривиальное лишь при i=n). Для описания действия монодромии на выбираются точки , расположенные около , и пути , ведущие из о в . Пусть - петля, устроенная так: сначала она идет по , затем обходит один раз вокруг s и, наконец, возвращается по в о. Кроме того, пусть - исчезающий в точке цикл (точнее, нужно взять исчезающий цикл в и перенести его в при помощи М. п., соответствующего пути ). Пусть, наконец,- подпространство, порожденное исчезающими циклами (пространство исчезающих когомологий). Тогда имеют место следующие утверждения:

1) группа порождается элементами

2) действие задается формулой

3) пространство инвариантно относительно действия группы монодромии ;

4) подпространство инвариантных относительно монодромии элементов совпадает с ортогональным дополнением к Еотносительно формы пересечения на , а также с образами естественных гомоморфизмов

5) исчезающие циклы сопряжены (с точностью до знака) относительно действия ();

6) действие () на Еабсолютно неприводимо.

Формализм исчезающих циклов, М. п. и теория Пикара - Лефшеца построены также для l -адических когомологий алгебраич. многообразий над любым полем (см. [3]).

Лит.:[1] Арнольд В. И., "Успехи матем. наук", 1974, т. 29, в. 2, с. 11-49; [2] Милнор Дж ., Особые точки комплексных гиперповерхностей, пер. с англ., М., 1971; [3] Groupes de monodromie en geometrie algebrique, B.- Hdlb.- N. Y., 1973 (Lect. Notes Math., № 340); [4] Clemens С. Н., "Trans. Amer. Math. Soc", 1969, v. 136, p. 93-108; Schmid W., "Invent. Math.", 1973, Bd 22, S. 211-319; [6] Steenbrink J., "Invent. Math.", 1976, Bd 31, S. 229-57; [7] Symposium in Mathematics, Oslo, 1976, p. 524-63; [8] LefsChetzS., L'Analysis situs et la geometrie algebrique, P., 1924; [9] Лефшец С, "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, № 6, с. 193-215.

В. И. Данилов.