Функции параболического цилиндра

Функции параболического цилиндра

Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.

В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения

\frac{d^2f}{dz^2} + \left(az^2+bz+c\right)f=0.\quad (1)
График функций Вебера с положительным целым индексом

При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении, получается уравнение:

\frac{d^2f}{dz^2} + \left(\nu +\frac12-\frac{z^2}{4}\right)f=0,

решения которого называются функциями Вебера и обозначаются ~D_\nu (z).

Функции ~D_\nu (z), D_\nu (-z), D_{-\nu-1} (iz), D_{-\nu-1} (-iz) являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом ~\nu функции ~D_\nu (z), D_\nu (-z) линейно независимы. Для всех ~\nu функции ~D_\nu (z), D_{-\nu-1} (\pm iz) также линейно независимы.

График функций Эрмита с положительным индексом
График функций Эрмита с отрицательным целым индексом

Однако на практике чаще пользуются другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из ~(1) заменой ~f(\alpha z+\beta)=e^{-z^2}y(z)

\frac{d^2y}{dz^2} -2z\frac{dy}{dz}+2\nu y=0.\qquad (2)

Функции Эрмита обозначаются ~H_\nu(z). Общее решение уравнения ~(2):

~y(z)=c_1H_\nu(z)+c_2\Phi\left(-\frac{\nu}{2};\frac12;z^2\right),

где ~\Phi\left(\alpha;\beta;z\right) — вырожденная гипергеометрическая функция.

При целом неотрицательном ~\nu функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном ~\nu функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.

Содержание

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Рекуррентные соотношения

 ~H_\nu (z)=2zH_{\nu-1} (z)-2(\nu-1)H_{\nu-2} (z)


 ~H_\nu (z)=\frac{2z}{2(\nu+1)}H_{\nu+1} (z)-\frac{1}{2(\nu+1)}H_{\nu+2} (z)


 2\nu~H_{\nu-1} (z)+H_{\nu+1} (z)=2zH_\nu (z)


Формулы дифференцирования

\frac{d}{dz}~H_\nu (z)=2\nu H_\nu(z)


\frac{d}{dz}~H_\nu (z)- 2zH_\nu (z)=-H_{\nu+1} (z)


\frac{d}{dz}\Bigl[e^{-z^2}~H_\nu (z)\Bigr]=-e^{-z^2} H_{\nu+1}(z)

Интегральные представления

Асимптотическое поведение

В начале координат

На бесконечности

Литература

  • Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
  • Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2
H.F. Weber, "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+k^2u=0" Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36

См. также

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Функции параболического цилиндра" в других словарях:

  • ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ФУНКЦИИ — Вебера функции, Вебера Эрмита функции, решения дифференциального уравнения к рое получается в результате разделения переменных в волновом уравнении в параболических ци линдрич. координатах. Наиболее часто используется решение где вырожденная… …   Математическая энциклопедия

  • ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ФУНКЦИИ — ф ции, удовлетворяющие ур нию к рое после замены переходит в уравнение Эрмита где v комплексный параметр. Пусть решение ур ния (2), к рое при v = п совпадает с полиномомЭрмита п=0, 1,... (см …   Физическая энциклопедия

  • Функции Бесселя — в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где   произвольное вещественное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • Функции Эрмита — Функции параболического цилиндра общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа,… …   Википедия

  • Функции Ганкеля — (Ханкеля) (Функции Бесселя третьего рода) это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ганкеля. функция Ганкеля первого рода; функция… …   Википедия

  • Бесселевы функции — Функции Бесселя в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где α  произвольное действительное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • Бесселя функции — Функции Бесселя в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где α  произвольное действительное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов. Специальные функции …   Википедия

  • ЭРМИТА ФУНКЦИИ — специальные функции, удовлетворяющие ур нию Эрмита (С. Hermit) Частные решения (1) имеют вид При целом v>0 Э. ф. совпадают с полиномами Эрмита (см. Ортогональные полиномы). Интегральное представление, ф лу дифференцирования и рекуррентное… …   Физическая энциклопедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — бесселевы функции, решения Zv дифференциального уравнения Бесселя где v произвольное действительное или комплексное число (см. Бесселя уравнение). Цилиндрические функции произвольного порядка. Если vне является целым числом, то общее решение… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»