ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

бесселевы функции,- решения Zv дифференциального уравнения Бесселя


где v - произвольное действительное или комплексное число (см. Бесселя уравнение).

Цилиндрические функции произвольного порядка.
Если vне является целым числом, то общее решение урарнения (1) имеет вид


где с 1 и с 2 - постоянные, a Jv и J-v- т. н. Ц. ф. 1-го рода, или Бесселя функции. Для них справедливо разложение

Ряд в правой части для сходится абсолютно и равномерно при всех где Rи N - произвольные положительные числа. Функции и -аналитические, с особыми точками z = 0 и производные и удовлетворяют следующему тождеству:

Если же v - целое, то и линейно зависимы, и их линейная комбинация уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. 1-го рода, вводят Ц. ф. 2-го рода Nv (z) (или Неймана Функции, функции Вeбора):


(другое обозначение Yv(z)). При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

Важны для приложений и другие решения уравне ния (1) - Ц. ф. 3-го рода (или Ганкеля функции).
Их обозначают через и и, по определению, полагают

Справедливы тождества

и соотношения

Для действительных z = x и ш функции Ганкеля являются комплексно сопряженными решениями уравнения (1). При этом функции Jv(z)дают действительную часть, а функции Nv(x). мнимую часть функций Ганкеля.
Ц. ф. 1-го, 2-го и 3-го рода Zv удовлетворяют рекуррентным формулам

Каждая пара функций

образует (при нецелом v) фундаментальную систему решений уравнения (1).
Модифицированными Ц. ф. наз. Ц. ф. мнимого аргумента

и Мaкдoналъда функции:

Эти функции являются решениями дифференциального уравнения


и удовлетворяют рекуррентным формулам

Цилиндрические функции целых и полуцелых порядков. Если v=n - целое число, то Jn(z) можно определить с помощью формулы Якоби - Ангера


или

Справедливы равенства

Функция Jn(z)есть целая трансцендентная функция аргумента z;для алгебраического z = a, Jn(z) есть трансцендентное число и при
В качестве второго линейно независимого с Jn(z) решения уравнения (1) обычно берут функцию


где с=0,577215...- постоянная Эйлера. Если в одной из конечных сумм верхний индекс суммирования меньше нижнего, то соответствующая сумма получает значение 0. Справедливо равенство Y-n(z)=(-1)nYn(z).
Ц. ф. тогда и только тогда превращаются в элементарные функции, когда индекс v принимает значение v=n+1/2, n=0,1,2,... (сферические функции Бесселя, или Ц. ф. полуцелого порядка). Справедливы формулы (n=0, 1, 2, ...):

в частности

в частности

Интегральные представления цилиндрических функций. Для v=n=0,1,2,... имеется интегральное представление Бесселя


и

Для и R(z) > 0 имеется интегральное представление Пуассона


и

Кроме этих представлений, существует много других интегральных представлений, в частности в виде контурных интегралов (см. [2], [4], [5]).

Асимптотическое поведение цилиндрических функций. Для справедливо

Для действительных z=x имеют место

Для имеют место следующие оценки






Для п = 0, 1, 2, ... , ряды (9) и (10) обрываются. Функции Ганкеля являются единственными Ц. ф., к-рые стремятся к нулю для комплексных значений переменного . при (и в этом их особое значение для приложений):


Для больших значений |z| и |v| применимы асимптотич. ряды специальных типов (см. [1], [2], [3], [5]).

Нули цилиндрических функций. Нули, произвольной Ц. ф. являются простыми нулями за исключением z = 0. Если а, b, v - действительные, то между двумя действительными нулями Jn(z) лежит один действительный нуль аJn(z)+bNv(z). При действительном v Jn(z) имеет бесконечно много действительных нулей; для v>-1 все нули Jv(z) действительны; если 0<jv, 1 < jv,2 < ....-положительные нули Jn(z), то

0 < jv, 1 < jv+1, 1 < jv, 2 < jv+1,21 < jv, 3 < ......

Для v>0 справедливо jv,1>0 ; также для наименьшего положительного нуля функции J'v(z) имеет место j'v, 1> 0. Пары функций (z), п = 0, 1, 2, ..., т=1, 2, 3, ..., не имеют, кроме z = 0, общих нулей. Если
то Jv(z)имеет ровно 4n + 2 комплексных нулей, из к-рых два - чисто мнимые; если n=1, 2, 3, . . ., то Jv(z)имеет ровно 4n комплексных нулей с отличной от нуля действительной частью.

Теоремы сложения и разложения в ряды по цилиндрическим функциям. Справедливы следующие теоремы сложения:


где

- ультрасферические многочлены. При разложении Ц. ф. используются Ломмеля многочлены, Неймана ряды, Фурье-Бесселя ряды, Дирихле ряды.
С Ц. ф. связаны Ангера функция, Струве функции, Ломмеля функции, Кельвина функции, Эйри функции.
Ц. ф. можно определить как предельные значения сферич. функций следующим образом:

При этом асимптотич. представления сферич. функций связаны с Ц. ф., и наоборот, как, напр., в формуле Xильба:


и в разложениях Макдональда, Ватсона, Трикоми и др. (см. [1], [2], [4]).

Вычисление значений Ц. ф. на ЭВМ. Дли вычислений значений функций J0(x), J1(x), N0(x), N1(x), I0(x), I1(x), K0(x), K1(x) удобны аппроксимации многочленами и рациональными функциями (см. [5]). О разложениях по многочленам Чебышена см. [6]. Для вычисления функций больших целых порядков, особенно на ЭВМ, применяются рекуррентные соотношения (5) -(7) (см. [5]).
Сведения об имеющихся таблицах Ц. ф. приводятся в [7], [8], [9].

Лит.:[1] Ватсон Дж. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1, М., 1949; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А.,Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1974; [3] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963; [4] Градштеейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Г


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ" в других словарях:

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (функции Бесселя) решения Zv(z )ур ния Бесселя где параметр (индекс) v произвольное действительное или комплексное число. В приложениях чаще встречается ур ние, зависящее от четырёх параметров: решения к рого выражаются через Ц …   Физическая энциклопедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией …   Большой Энциклопедический словарь

  • Цилиндрические функции — Цилиндрические функции  общее название для специальных функций одного переменного, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики,… …   Википедия

  • цилиндрические функции — решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией. * * * ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, решения уравнения… …   Энциклопедический словарь

  • Цилиндрические функции —         весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), являющихся решениями дифференциального уравнения:          (1)         где ν произвольный параметр. К этому уравнению… …   Большая советская энциклопедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — Бесселя функции, ф ции, встречающиеся при решении задач, имеющих осевую симметрию (напр., задачи о распространении теплоты в однородном бесконечном круговом цилиндре) …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физ. процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрич. симметрией …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Функции Бесселя — в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где   произвольное вещественное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • Функции Ганкеля — (Ханкеля) (Функции Бесселя третьего рода) это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ганкеля. функция Ганкеля первого рода; функция… …   Википедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МАГНИТНЫЕ ДОМЕНЫ — «магнитные пузырьки», изолированные однородно намагниченные подвижные области ферро или ферримагнетика (домены), имеющие форму круговых цилиндров и направление намагниченности, противоположное направлению намагниченности остальной его части (рис …   Физическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»