Генераторы группы матриц

Генераторами группы матриц называются её инфинитезимальные образующие (базис) — элементы её алгебры Ли. Элементы группы с попарно коммутирующими генераторами $A_1, A_2, \dots A_n$ могут быть представлены с помощью экспоненциального отображения в виде $\exp(A_1\alpha_1+\cdots+A_n\alpha_n)$. Свойства группы очевидным образом следуют из тождества $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ для коммутирующих матриц. Если генераторы не коммутируют, то в таком виде могут быть представлены не все элементы группы, даже если группа связна.

Определение понятия

Рассмотрим малую окрестность единичного элемента группы Ли. Без ограничения общности будем считать, что единичному элементу соответствуют нулевые значения параметров: $g(0, \dots , 0) = e = 1$. Тогда произвольный элемент $g(\alpha_1, \dots , \alpha_n)$ из рассматриваемой окрестности (где параметры $\alpha_k \,$, естественно, малы) может быть разложен вблизи единичного преобразования с точностью до членов второго порядка малости:

$g(\alpha_1, \dots , \alpha_n) = 1 + \sum_{k=1}^{n} A_k\alpha_k + O(\sum_{k,\, j=1}^{n}\alpha_k\alpha_j),$

где величины

$A_k = \left.\frac{\partial g(\alpha_1, \dots , \alpha_n)}{\partial \alpha_k} \right\vert_{\alpha_1=\,\alpha_2\,=\,\dots\, =\,\alpha_n=\, 0}$

называются инфинитезимальными генераторами группы Ли или просто генераторами.

Примеры генераторов

• Мнимая единица - генератор группы U(1).
• Матрицы Паули — генераторы специальной унитарной группы SU(2).
• Матрицы Гелл-Манна — генераторы специальной унитарной группы SU(3).

Ссылки

• В. С. Замиралов «Основные понятия теории групп и их представлений и некоторые приложения к физике частиц» на сайте НИИЯФ МГУ.