Матрицы Гелл-Манна

Ма́трицы Гелл-Ма́нна — генераторы группы SU(3). Названы по имени Мюррея Гелл-Манна. Всего их восемь:

$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

Каждому из восьми глюонов сопоставляется матрица Гелл-Манна.

Свойства

Произведение:

$\lambda_a \lambda_b = \frac{2}{3}\delta_{ab}\mathbf{E}+d_{abc}\lambda_c+i f_{abc}\lambda_c$,

где

• $d_{abc}, f_{abc}$ — структурные константы группы SU(3);
• $\mathbf{E}$ — единичная матрица 3×3;
• $\delta_{ab}$ — символ Кронекера.

След произведения:

$\operatorname{Sp}\; \lambda_a \lambda_b = 2 \delta_{ab}$,

Коммутатор:

$[\lambda_a,\lambda_b]_{+} = 2 i f_{abc}\lambda_c$

Антикоммутатор:

$[\lambda_a \lambda_b]_{-} = \frac{4}{3}\delta_{ab}\mathbf{E}+2 d_{abc}\lambda_c$

Литература

• Гелл-Мана матрицы — статья из Физической энциклопедии