Расширенная комплексная плоскость

Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости $\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}$, являющаяся комплексной проективной прямой $\mathbb C\mathbb P^1$. Как вещественное многообразие диффеоморфна двумерной сфере S².

Координаты

Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:

• аффинная комплексная координата z, способная принимать значение $\infty$;
• проективные комплексные координаты [z₀:z₁];
• трёхмерные вещественные координаты ξ,η,ζ, связанные уравнением:

ξ² + η² + (ζ − 1)² = 1.

Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

$z = \frac{z_1}{z_0}$

$z_0:z_1 = \left[\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta>0 \\ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right.$

$\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{2z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.$

$(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z$ задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.

Преобразования Мёбиуса

Автоморфизмами сферы Римана являются преобразования Мёбиуса. Пусть a,b,c,d — матрица из $GL_2(\mathbb C)$. Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:

$z' = \frac{az+c}{bz+d}$

Приложения

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту θ отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. 0 < θ < π / 2 (см. рис.)

В таком случае верны соотношения:

$z_0:z_1 = \cos\theta : e^{i\varphi}\sin\theta$

$\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = e^{i\varphi}\sin{2\theta} \\\zeta-1 = \cos{2\theta}\end{matrix}\right.$

Внутренность сферы

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, т.е. фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3 а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.