Методы интегрирования

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — дело гораздо более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. См. Таблица интегралов.

Подведение под знак дифференциала

Данный метод эквивалентен методу замены переменной (см. далее):

$\int f(x)dx = \int f(u(x)) \frac{d(u(x))}{d(u(x))/dx} = \int f(u(x)) \frac{d(u(x))}{u'_x}.$

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл $\int F(x)dx.$ Сделаем подстановку $~x=\varphi(t),$ где $~\varphi(t)$ — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда $~dx = \varphi'(t)\cdot dt$ и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

$\int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot \varphi' (t) dt.$

Интегрирование выражений вида $\int \sin^n x \cos^m x\,dx$

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.

Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.

Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Примеры

Вычислить: $\int \sin^2 x \cos x\,dx.$

Пусть $\sin x=t\,,$ тогда $\cos x\,dx=dt$ и $\int \sin^2 x \cos x\,dx =\int t^2 \,dt =\frac{t^3}{3} + C =\frac{\sin^3 x}{3} + C.$

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

$\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du.$

Или:

$\int u \cdot v' \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u' \cdot dx.$

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

$\int P_{n+1}(x) e^x\,dx,$

где $P_{n+1}(x)$ — многочлен $(n+1)$-ой степени.

Интегрирование рациональных дробей

Основная статья: Разложение дробей при интегрировании

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь $\tfrac{P(x)}{Q(x)}$, знаменатель которой разложен на множители

$Q(x)= \prod^{n}_{i=1} (x-x_i)^{k_i} \cdot \prod^{m}_{j=1} (x^2+p_jx+q_j)^{s_j}$

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

$\frac{P(x)}{Q(x)}= \sum^{n}_{i=1} {\sum^{k_n}_{j=1} {\frac {A_{ij}} {(x-x_i)^j}} }+ \sum^{m}_{l=1} {\sum^{s_m}_{t=1} {\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x} {(x^2+p_lx+q_l)^t}} }$

где $A_{ij},\alpha _{lt}, \beta _{lt}$ — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Примеры

Вычислить: $\int \frac{2x+3}{x^2-9}\,dx.$

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

$\frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{2x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{\alpha}{(x-3)} + \frac{\beta}{(x+3)}$

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

$\alpha(x+3)+\beta(x-3)=2x+3$

$(\alpha+\beta)x+3\alpha-3\beta=2x+3$

Следовательно $\begin{cases} \alpha+\beta=2\\ 3\alpha-3\beta=3\\ \end{cases}, \begin{cases} \alpha=\frac{3}{2}\\ \beta=\frac{1}{2}\\ \end{cases}$

Тогда $\frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{\frac{3}{2}}{x-3}+\frac{\frac{1}{2}}{x+3}$

Теперь легко вычислить исходный интеграл $\int \frac{2x+3}{x^2-9}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-3} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+3} = \frac{3}{2}\ln |x-3| + \frac{1}{2}\ln |x+3| + C = \frac{1}{2}\ln |(x-3)^3(x+3)| + C$

См. также

• Символьное интегрирование
• Формулы Фруллани
• Универсальная тригонометрическая подстановка
• Подстановки Эйлера

Ссылки

• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
• Онлайн Калькулятор Интегралов