Формулы Фруллани

Формулы Фруллани относятся к нахождению несобственных интегралов Римана вида:

$\int \limits_{0}^{\infty} \frac{f(\alpha x) - f(\beta x)}{x} \,dx$

к которым с помощью элементарных преобразовании, дифференцирования и интегрирования по параметру можно свести много других несобственных интегралов.

Формулы Фруллани

Первая формула Фруллани

Если $f(x) \in C[0,+\infty) \$ и $\ \forall A>0 \ \exists \int \limits_{A}^{\infty} \frac{f(x)}{x} \,dx$ то, справедлива следующая формула:

$\int \limits_{0}^{\infty} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \,dx = f(0)\ln\biggl(\frac{\beta}{\alpha}\biggr) \ \ (\alpha>0, \beta>0) \$

Доказательство:

$\lim \limits_{A \to +0} \Biggl( {\int \limits_{A}^{\infty} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \,dx} \Biggr) = \lim \limits_{A \to +0} \Biggl( {{\int \limits_{A}^{\infty} \frac{f(\alpha x)}{x} \,dx} - {\int \limits_{A}^{\infty} \frac{f(\beta x)}{x} \,dx}} \Biggr) =$

$= \left\{ \forall A>0 \ \exists \int \limits_{A}^{\infty} \frac{f(x)}{x} \,dx \ \Rightarrow {\int \limits_{A}^{\infty} \frac{f(x)}{x} \,dx = F(\infty) - F(A) } \Rightarrow {\int \limits_{A}^{\infty} \frac{f(\alpha x)}{x} \,dx = \int \limits_{\alpha A}^{\infty} \frac{f(x)}{x} \,dx} = F(\infty) - F(\alpha A)\right\}$ ^[1] $=$

$= \lim \limits_{A \to +0} \Biggl( F(\infty) - F(\alpha A) - F(\infty) + F(\beta A) \Biggr) = \lim \limits_{A \to +0} \Biggl( F(\beta A) - F(\alpha A) \Biggr) = \lim \limits_{A \to +0} \Biggl( \int \limits_{\alpha}^{\beta} \frac{f(Ax)}{x} \,dx \Biggr) =$

$= \lim \limits_{A \to +0} \Biggl( f(A \xi)\int \limits_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{x} \,dx \Biggr)$ ^[2] $= \lim \limits_{A \to +0} \Biggl( f(A \xi) \biggl(\ln(\beta)-\ln(\alpha)\biggr) \Biggr)$ ^[3] $= \lim \limits_{A \to +0} \biggl( f(A \xi) \biggr) \ln\biggl(\frac{\beta}{\alpha}\biggr) =$

$= \left\{ \xi \in [\alpha,\beta] \Rightarrow \lim \limits_{A \to +0}{A\xi} = 0, f(x) \in C[0,+\infty] \Rightarrow \lim \limits_{A \to +0}{f(A\xi) = f(0)} \right\} = f(0)\ln\biggl(\frac{\beta}{\alpha}\biggr) .$

Вторая формула Фруллани

Если $f(x) \in C[0,+\infty)$ и $\exists \lim \limits_{x\to +\infty}f(x) < +\infty \$ то, справедлива следующая формула:

$\int \limits_{0}^{\infty} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \,dx = (f(0) - f(+\infty))\ln\biggl(\frac{\beta}{\alpha}\biggr) \ \ (\alpha>0, \beta>0)$

Доказательство:

$\int \limits_{0}^{\infty} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \,dx = \lim \limits_{\epsilon \to 0 , \Delta \to \infty} \Biggl( \int \limits_{\epsilon}^{A} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \,dx + \int \limits_{A}^{\Delta} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \,dx \Biggr)$ ^[4]$=$

$= \left\{\rho \bigl( \epsilon, A \bigr) < \infty, \frac{f(x)}{x} \in C[\epsilon, A] \Rightarrow \int \limits_{\epsilon}^{A} \frac{f(x)}{x} \,dx = F(A) - F(\epsilon) \Rightarrow \int \limits_{\epsilon}^{A}\frac{f(\alpha x)}{x} \,dx = F(\alpha A) - F(\alpha \epsilon)\right\}$ ^[1]$=$

$= \lim \limits_{\epsilon \to 0 , \Delta \to +\infty} \Biggl( F(\alpha A) - F(\alpha \epsilon) - F(\beta A) + F(\beta \epsilon) + \int \limits_{A}^{\Delta} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \,dx \Biggr) =$

$= \left\{ \rho \bigl( A, \Delta \bigr) < \infty, \frac{f(x)}{x} \in C[A,\Delta] \Rightarrow \int \limits_{A}^{\Delta} \frac{f(x)}{x} \,dx = F(\Delta) - F(A) \Rightarrow \int \limits_{A}^{\Delta} \frac{f(\alpha x)}{x} \,dx = F(\alpha \Delta) - F(\alpha A)\right\} =$

$= \lim \limits_{\epsilon \to +0 , \Delta \to +\infty} \Biggl( F(\alpha A) - F(\alpha \epsilon) - F(\beta A) + F(\beta \epsilon) + F(\alpha \Delta) - F(\alpha A) - F(\beta \Delta) + F(\beta A) \Biggr) =$

$=\lim \limits_{\epsilon \to +0} \biggl( F(\beta \epsilon) - F(\alpha \epsilon) \biggr) - \lim \limits_{\Delta \to +\infty} \biggl( F(\beta \Delta) - F(\alpha \Delta) \biggr) =\lim \limits_{\epsilon \to +0} \Biggl( \int \limits_{\alpha}^{\beta} \frac{f(\epsilon x)}{x} \,dx \Biggr) - \lim \limits_{\Delta \to +\infty} \Biggl( \int \limits_{\alpha}^{\beta} \frac{f(\Delta x)}{x} \,dx \Biggr)=$

$=\lim \limits_{\epsilon \to +0} \Biggl( f(\epsilon \eta) \int \limits_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{x} \,dx \Biggr) - \lim \limits_{\Delta \to +\infty} \Biggl(f(\Delta \mu) \int \limits_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{x} \,dx \Biggr)$ ^[2] $=\biggl( \lim \limits_{\epsilon \to +0} f(\epsilon \eta) - \lim \limits_{\Delta \to +\infty} f(\Delta \mu) \biggr) \biggl( \ln(\beta)-\ln(\alpha) \biggr)$ ^[3] $=$

$= \left\{ \eta,\mu \in [\alpha, \beta] \Rightarrow \lim\limits_{\epsilon \to +0} \epsilon \eta =0, \lim\limits_{\Delta \to +\infty} \Delta \mu =+\infty, f(x) \in C[0,+\infty] \Rightarrow \lim\limits_{\epsilon \to +0} f(\epsilon \eta) = f(0), \lim\limits_{\Delta \to +\infty} f(\Delta \mu) = f(+\infty) \right\}=$

$=\biggl(f(0)-f(+\infty)\biggr)\ln\biggl(\frac{\beta}{\alpha}\biggr).$

Третья формула Фруллани

Если $f(x) \in C(0,+\infty) \$ и $\ \forall A>0 \ \exists \int \limits_{0}^{A} \frac{f(x)}{x} \,dx$ и $\exists \lim \limits_{x\to +\infty}f(x) < +\infty \$ то, справедлива следующая формула:

$\int \limits_{0}^{\infty} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \,dx = f(+\infty)\ln\biggl(\frac{\alpha}{\beta}\biggr) \ \ (\alpha>0, \beta>0) \$

Примеры

• $\int \limits_{0}^{\infty} \frac { \frac {\sin(\alpha x)}{\alpha x} - \frac {\sin(\beta x)}{\beta x}}{x} \,dx \, = \, \ln \left ( \frac {\beta}{\alpha} \right )$

• $\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\sin \left( \alpha x + m \right) -\sin \left( \beta x +m \right) }{x}}{dx}= \sin (m) \cdot \ln \left( {\frac {\beta}{\alpha}} \right)$

• $\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos \left( \alpha x + m \right) -\cos \left( \beta x + m \right) }{x}}{dx}= \cos (m) \cdot \ln \left( {\frac {\beta}{\alpha}} \right)$

• $\int \limits_{0}^{\infty} \frac { \frac {m}{n+\alpha x} - \frac {m}{n+\beta x}}{x} \,dx \, = \,{\frac {m}{n} \, \ln \left ( \frac {\beta}{\alpha} \right )}$

• $\int \limits _{0}^{\infty }\! \, \frac { {\frac { arctg \left( - \alpha \, x \right) }{\alpha \, x}}-{\frac {arctg \left( - \beta \, x \right) }{\beta \, x}}}{x}{dx}\,= {\, \ln \left ( \frac {\alpha}{\beta} \right )}$

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Первообразная
2. ↑ ^{1 2} Теорема о среднем в определённом интеграле
3. ↑ ^{1 2} Таблица интегралов
4. ↑ Интеграл Римана, свойство линейности

См. также

• Методы интегрирования

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Frullani's Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981. — 800 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).