Методы Рунге-Кутты

Методы Рунге — Кутта— важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально, методами Рунге — Кутта являются модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (MathCAD,

Классический метод Рунге — Кутта 4 порядка

Метод Рунге — Кутта 4 порядка столь широко распространен, что его часто называют просто метод Рунге — Кутта.

Рассмотрим задачу Коши $\textbf{y}'=\textbf{f}(x,\textbf{y}), \textbf{y}(x_0)=\textbf{y}_0$. Тогда значение в следующей точке вычисляется по формуле:

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + {h \over 6} (\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2 + 2\textbf{k}_3 + \textbf{k}_4)$

где

$\textbf{k}_1 = \textbf{f} \left( x_n, \textbf{y}_n \right),$

$\textbf{k}_2 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_1 \right),$

$\textbf{k}_3 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_2 \right),$

$\textbf{k}_4 = \textbf{f} \left( x_n + h, \textbf{y}_n + h \textbf{k}_3 \right),$

$\textbf{ }h$ — величина шага сетки по $\textbf{ }x$.

Этот метод имеет 4 порядок, т.е. ошибка на каждом шаге составляет O(h⁵), а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования O(h⁴).

Прямые методы Рунге — Кутта

Семейство прямых методов Рунге — Кутта является обобщением метода Рунге — Кутта 4 порядка. Оно задается формулами

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i,$

где

$\textbf{k}_1 = f(x_n, \textbf{y}_n), \,$

$\textbf{k}_2 = f(x_n+c_2h, \textbf{y}_n+a_{21}h\textbf{k}_1), \,$

$\textbf{k}_3 = f(x_n+c_3h, \textbf{y}_n+a_{31}h\textbf{k}_1+a_{32}h\textbf{k}_2), \,$

$\vdots$

$\textbf{k}_s = f(x_n+c_sh, \textbf{y}_n+a_{s1}h\textbf{k}_1+a_{s2}h\textbf{k}_2+\cdots+a_{s,s-1}h\textbf{k}_{s-1}).$

Конкретный метод определяется числом s и коэффициентами b_i,a_ij и c_i. Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу

	0
	c2	a21
	c3	a31	a32
	$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
	cs	as1	as2	$\cdots$	as,s − 1
		b1	b2	$\cdots$	bs − 1	bs

Для коэффициентов метода Рунге — Кутта должны быть выполнены условия $\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i$ для $i=2, \ldots, s$. Если мы хотим, чтобы метод имел порядок p, то следует так же обеспечить условие $\bar\textbf{y}(h+x_0)-\textbf{y}(h+x_0)=O(h^{p+1})$, где $\bar\textbf{y}(h+x_0)$ — приближение полученное по методу Рунге — Кутта. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.

См. также

• Метод Эйлера

Ссылки

Примечания