Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра́л для функции f(x)\, — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция f(x)\, определена и непрерывна на промежутке (a,b)\, и F(x)\, — её первообразная, то есть F'(x) = f(x)\, при a<x<b\,, то

\int f(x) dx = F(x) + C, \,  a<x<b\,,

где С — произвольная постоянная.


d\left (\int f(x)dx \right ) = f(x) dx
\int d(F(x)) = F(x)+C
\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x)dx
\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx
Если \int f(x) dx = F(x) + C, то и \int f(u) du = F(u)+C, где u = \varphi (x) — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Содержание

Подведение под знак дифференциала

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

du=d(u+C)\,
du = {1 \over a} d(au)
f'(u) \cdot du = d(f(u))

Основные методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

\int g(x) dx = G(x) + C, \,

то

\int g(u) du = G(u) + C, \,

где u = \varphi (x) \, — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

g(x)= g_1(x) + g_2(x), \,

то

\int g(x) dx = \int g_1(x) dx + \int g_2(x)dx. \,

3. Метод подстановки. Если g(x)\, — непрерывна, то, полагая

x = \varphi (t), \,

где \varphi (t) \, непрерывна вместе со своей производной \varphi' (t) \,, получим

\int g(x) dx = \int g(\varphi (t))\varphi' (t) dt. \,

4. Метод интегрирования по частям. Если u\, и v\, — некоторые дифференцируемые функции от x\,, то

\int u dv = uv - \int v du. \,

Таблица основных неопределённых интегралов

\int 0 \cdot dx = C ; \,
\int 1 \cdot dx = x + C ; \,
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C  \,  (n \ne -1); \,
\int \frac{1}{x} dx = \ln \mid x \mid + C ; \,
\int e^x dx = e^x + C ; \,
\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \,  (a>0, a \ne 1); \,
\int \cos x \, dx = \sin x + C ; \,
\int \sin x \, dx = - \cos x + C ; \,
\int \frac {dx}{\cos^2 x} = \mathrm{tg}\, x + C ; \,
\int \frac {dx}{\sin^2 x} = - \mathrm{ctg}\, x + C ; \,
\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = - \arccos x + C' (C' = \frac {\pi}{2} + C); \,
\int \frac {dx}{1+x^2} = \mathrm{arctg}\, x + C; \,
\int \mathrm{ch}\, x dx = \mathrm{sh}\, x + C; \,
\int \mathrm{sh}\, x dx = \mathrm{ch}\, x + C; \,

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа C \, такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

См. также

Литература

  • Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.
  • Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Неопределённый интеграл" в других словарях:

  • неопределённый интеграл — см. Интегральное исчисление. * * * НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, см. Интегральное исчисление (см. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) …   Энциклопедический словарь

  • Неопределённый интеграл —         общее выражение первообразной для подынтегральной функции f (x); обозначается                  Например,                  См. Интегральное исчисление …   Большая советская энциклопедия

  • НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ — см. Интегральное исчисление …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Определённый интеграл — Определённый интеграл  аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая  область в множестве задания этой функции (функционала).… …   Википедия

  • Интеграл (значения) — Интеграл (см. также Первообразная, Численное интегрирование, Интегрирование по частям) математический оператор: Определённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл расширение понятия суммы Интеграл Ито… …   Википедия

  • Интеграл — (от лат. integer целый)         одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости… …   Большая советская энциклопедия

  • Интеграл — Определённый интеграл как площадь фигуры У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения). Интеграл функции  …   Википедия

  • Определенный интеграл — Определённый интеграл как площадь фигуры В математическом анализе интегралом функции называют расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при нахождений таких величин как… …   Википедия

  • Интегральное исчисление —         раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей… …   Большая советская энциклопедия

  • Исчисление — У этого термина существуют и другие значения, см. Исчисление (значения) …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»