Графические вычисления

        методы получения численных решений различных задач путём графических построений. Г. в. (графическое умножение, графическое решение уравнений, графическое интегрирование и т. д.) представляют систему построений, повторяющих или заменяющих с известным приближением соответствующие аналитические операции. Графическое выполнение этих операций требует каждый раз последовательности построений, приводящих в результате к графическому определению искомой величины. При Г. в. используются Графики функций. Г. в. находят применение в приложениях математики. Достоинства Г. в. — простота их выполнения и наглядность. Недостаток — малая точность получаемых ответов. Однако в большом числе задач, особенно в инженерной практике, точность Г. в. вполне достаточна. Графические методы с успехом могут быть использованы для получения первых приближении, уточняемых затем аналитически. Иногда Г. в. называются вычисления, производимые при помощи номограмм. Это не совсем правильно, т. к. номограммы являются геометрическими изображениями функциональных зависимостей и не требуют для нахождения численных значений функции каких-либо построений (см. Номография).

         Вычисление алгебраических выражений. Числа при Г. в. обычно изображаются направленными отрезками на прямой. Для этого выбирают единичный отрезок (длина его называется масштабом построения). Одно из направлений на прямой принимают за положительное. В этом направлении откладывают отрезки, изображающие положительные числа; отрицательные числа изображаются отрезками, имеющими противоположное направление. На рис. 1 показаны отрезки M₀M, A₀A и B₀B, соответствующие числам 1, 3 и —4 (положительное направление здесь слева направо).

         Для нахождения суммы чисел соответствующие им отрезки откладывают на прямой один за другим так, чтобы начало следующего совпадало с концом предыдущего. Отрезок, началом которого является начало первого отрезка и концом — конец последнего, будет изображать сумму. Разность чисел находят, строя сумму отрезка, изображающего первое число, и отрезка, изображающего число, противоположное второму.

         Умножение и деление осуществляют построением пропорциональных отрезков, которые отсекают на сторонах угла параллельные прямые (MA и BC на рис. 2). Так построены отрезки 1, а, б и с, длины которых удовлетворяют соотношению а : 1 = с : b, откуда с = аb или b = с/а; следовательно, зная два из трёх отрезков a, b и с, всегда можно найти третий, т. е. можно построить произведение или частное двух чисел. При этом построении единичные отрезки на прямых OB и OC могут быть различными.

         Комбинируя действия умножения и сложения, графически вычисляют суммы произведений вида

         a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n

        и взвешенное среднее

         (a₁x₁ + ... + a_nx_n)/(a₁ + ... + а₂).

         Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения.

         Построение значений многочлена

         f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n

        основано на представлении его в виде

         f(x) = {[(a₀x + a₁)х + а₂]х + ...}х + а_n

        и последовательном графическом выполнении действий, начиная с выражения, заключённого во внутренние скобки.

         Графическое решение уравнения f(x) = 0 заключается в вычерчивании графика функции у = f(x) и нахождении абсцисс точек пересечения кривой с осью Ox, которые и дают значения корней уравнения. Иногда решение можно значительно упростить, если представить уравнение в виде φ₁(x) = φ₂(x) и вычертить кривые y = φ₁(x) и y = φ₂(x). Корнями уравнения будут значения абсцисс точек пересечения этих кривых (на рис. 3 показано нахождение корня x₀).

         Так, для решения уравнения третьей степени z³ + az² + bz + c = 0 его приводят к виду x³ + px + q = 0 заменой z = х — а/3, затем уравнение представляют в виде x³ = —px — q и вычерчивают кривую у = х³ и прямую у =—px — q. Точки их пересечения определяют корни x₁, x₂, x₃ уравнения. Построение удобно тем, что кубическая парабола у = х³ остаётся одной и той же для всех уравнений третьей степени. На рис. 4 решено уравнение x³ — 2,67x — 1 = 0. Его корни x₁ = —1,40, x₂ = —0,40, x₃ = 1,80. Аналогично решается уравнение четвёртой степени z⁴ + az³ + bz² + cz + d = 0. Подстановкой z = x — a/4 его приводят к виду x⁴ + px³ + qx + s = 0 и затем переходят к системе уравнений: у = х², (х – х₀)² + (у — у₀)² = r², вводя переменное y. Здесь x₀ = —q/2, у₀ = (1 – р)/2 и г, координаты центра x₀, y₀ которой легко подсчитать по коэффициенту данного уравнения. На рис. 5 решено уравнение x⁴ — 2,6x² — 0,8х — 0,6 = 0 (для него x₀ = 0,4; y₀ = 1,8, r = 2). Его корни x₁ = —1,55, x₂ = 1,80. Как видно из рис., уравнение др. действительных корней не имеет.

         Графическое интегрирование. Вычисление определенного интеграла y = f(x) ступенчатой ломаной. На рис. 6 изображена криволинейная трапеция aABb, площадь которой численно равна вычисляемому интегралу. Для построения ломаной криволинейную трапецию разрезают прямыми, параллельными оси Оу, на ряд полос — элементарных криволинейных трапеций. В каждой из них отрезок кривой заменяют отрезком, параллельным оси Ox, так, чтобы получающиеся прямоугольники имели примерно ту же площадь, что и соответствующие элементарные криволинейные трапеции (ломаная изображена на рис. 6 жирной линией). Площадь, ограниченная ломаной, равна сумме площадей построенных прямоугольников, т. е. x_k — длина основания k-гo прямоугольника, y_k — одно из значений функции у = f(x) на отрезке Δx_k, равное высоте прямоугольника. Это выражение принимают за приближённое значение интеграла рис. 7 выполнены все построения, необходимые для вычисления интеграла y = f(x) задана графиком AC₀...C₄B. После разбиения криволинейной трапеции на части прямыми, проходящими через точки A₁, ..., A₄, построены прямоугольники. Высоты их, ординаты точек C₀, ..., C₄, снесены на ось Оу. Полученные точки P₀, ..., P₄ соединены с точкой Р(OP = 1). Затем, начиная от точки а, построена ломаная aB₁... B₅, звенья которой параллельны соответствующим отрезкам PP₀, PP₁, ..., PP₄. Величина интеграла численно равна ординате точки B₅. Для построения графика первообразной функции y = f(x), т. е. рис. 7 точки B₀, B₁, ..., B₅).

         Графическое дифференцирование. График производной можно строить по значениям тангенса угла наклона касательной к графику данной функции в различных его точках. Точность такого построения мала из-за больших погрешностей при определении направлений касательных. График производной строят также по секущим, повторяя в обратном порядке процесс графического интегрирования, изображенный на рис. 7. Для этого график функции (рис. 8) разбивают на части прямыми, параллельными оси Оу и проведёнными через равные расстояния Δx. Через точки деления A₁, A₂, ... проводят отрезки AB₁, A₂B₂, …, параллельные оси Ox. Отрезки B₁A₁, B₂A₂, ... равны соответствующим приращениям функции. Их откладывают от оси Ox. По полученным точкам

         Графическое интегрирование дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение первого порядка dy/dx = f(x, у) определяет на плоскости поле направлений. Задача интегрирования уравнения заключается в проведении кривых, касательные к которым имеют направления поля. Различные приёмы графического интегрирования состоят в последовательном построении интегральных кривых по касательным, направления которых заданы, и в известной мере повторяют численные методы интегрирования (см. Приближённое решение дифференциальных уравнений).

         Лит.: Головинин Д. Н., Графическая математика, М. — Л., 1931; Рунге К., Графические методы математических вычислений, пер. с нем., М. — Л., 1932.

         М. В. Пентковский.

        

        Рис. 1. Изображение чисел 1, 3 и —4 направленными отрезками на прямой.

        

        Рис. 2. Графическое умножение и деление: с = аb, b = с/а.

        

        Графическое решение уравнения φ₁(x) = φ₂(x).

        

        Рис. 4. Графическое решение кубического уравнения x³ — 2,67х — 1 = 0.

        

        Рис. 5. Графическое решение уравнения 4-йстепени: x⁴ — 2,6x² — 0,8x — 0,6 = 0.

        

        Рис. 6—7. Графическое интегрирование.

        

        Рис. 8. Графическое дифференцирование.