Универсальная тригонометрическая подстановка

Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

Подстановка

Рассмотрим задачу нахождения первообразной рациональной функции от синуса и косинуса. Заменим sin x, cos x и дифференциал dx рациональными функциями от переменной t, и их произведением дифференциал dt, следующим образом:^[1]

$\begin{align} \sin x & = \frac{2t}{1 + t^2} \\[8pt] \cos x & = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\[8pt] dx & = \frac{2 \, dt}{1 + t^2} \end{align}$

для значений x, лежащих в интервале

$-\pi < x < \pi. \,$

Введение обозначений

Примем, что переменная t равна тангенсу половинного угла:

$t = \operatorname{tg} \frac{x}{2}.$

В интервале −π < x < π, это даёт

$x = 2 \operatorname{arctg}(t), \,$

и после дифференцирования получаем

$dx = \frac{2 \, dt}{1 + t^2}.$

Формула тангенса половинного угла даёт для синуса

$\begin{align} \sin x = \sin\left(2 \operatorname{arctg}(t) \right) & = 2\sin(\operatorname{arctg}(t))\cos(\operatorname{arctg}(t)) \\[6pt] & = 2\,\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\, \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{2t}{1+t^2}, \end{align}$

и для косинуса формула даёт

$\begin{align} \cos x = \cos\left(2 \operatorname{arctg}(t) \right) & = \cos^2(\operatorname{arctg}(t)) - \sin^2(\operatorname{arctg}(t)) \\[6pt] & = \left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)^2 - \left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)^2 = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}. \end{align}$

Примеры

Первый пример

Найдём интеграл

$\int \frac{1}{3 - 5\cos x} \, dx.$

Используя подстановку Вейерштрасса, получаем

$\int \frac{1}{3 - 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)} \cdot \frac{2 \, dt}{1 + t^2} = \int \frac{dt}{4t^2 - 1} = \int \frac{dt}{(2t - 1)(2t + 1)}.$

Чтобы вычислить последний интеграл, используем разложение дробей:

$\begin{align} & {} \quad \int \left(\frac{1/2}{2t-1} - \frac{1/2}{2t+1}\, \right) dt \\[6pt] & = \frac14 \ln\left| 2t-1 \right| - \frac14 \ln\left| 2t+1 \right| + \text{constant} = \frac14 \ln\left| \frac{2t-1}{2t+1} \right| + \text{constant} \\[6pt] & = \frac14 \ln \left| \frac{2 \operatorname{tg} \left(\frac x2\right) - 1}{2 \operatorname{tg} \left(\frac x2\right) + 1} \right| + \text{constant}. \end{align}$

Далее, согласно формуле тангенса половинного угла, можно заменить tg(x/2) на sin x/(1 + cos x), и тогда получаем

$\frac14 \ln \left| \frac{2\sin x - 1 - \cos x}{2\sin x + 1 + \cos x} \right| + \text{constant},$

или так же мы можем заменить tg(x/2) на (1 − cos x)/sin x.

Второй пример: определённый интеграл

Разница между определённым и неопределённым интегрированием состоит в том, что при вычислении определённого интеграла нам не обязательно преобразовывать полученную функцию от переменной  t обратно к функции от переменной x, если корректно изменить пределы интегрирования.

Например,

$\int_0^{\pi/6} \frac{1}{5 + 4\sin x} \, dx = \int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{2t}{1 + t^2}\right)} \, \frac{2 \, dt}{1 + t^2}$

Если x изменяется от 0 до π/6, sin x изменяется от 0 до 1/2. Это означает, что величина 2t/(1 + t²), равная sin  изменяется от 0 до 1/2. Тогда можно найти пределы интегрирования по переменной t:

$\frac{2t}{1+t^2} = \frac12,$

перемножая обе части уравнения на 2 и на (1 + t²), получаем:

$1 + t^2 = 4t. \,$

Решая квадратное уравнение, получаем два корня

$t = 2 \pm \sqrt{3}. \,$

Возникает вопрос: какой из этих двух корней подходит для нашего случая? Ответить на него можно, рассмотрев поведение

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

как функцию от x и как функцию от t. Когда x изменяется 0 до π, функция sin x изменяется от 0 до 1, и потом назад до  0. Эта функция проходит через значение 1/2 дважды — при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении от 1 до 0. Когда t изменяется от 0 до ∞, функция 2t/(1 + t²) изменяется от 0 до 1 (когда t = 1) и потом обратно до to 0. Она проходит значение 1/2 при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении: первый раз при t = 2 − √3 и потом опять при t = 2 + √3.

Произведя несложные алгебраические преобразования, получим

$\int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{2 \, dt}{5(1+t^2) + 4(2t)} = \int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{2 \, dt}{5t^2 + 8t + 5}$

Выделяя полный квадрат (англ.), получаем

$\int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{2 \, dt}{5\left(t+\frac45 \right)^2 + \frac95} = \int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{ \frac{10}{9}\,dt}{\left(\frac{5t+4}{3}\right)^2 + 1}.$

Введём новую переменную

$\begin{align} u & = \frac{5t+4}{3}, \\[8pt] du & = \frac{5}{3}\,dt, \\[8pt] \end{align}$

Отсюда

$u = \frac{4}{3}$

при $t = 0,$

и предел интегрирования будет

$u = \frac{14 - 5\sqrt{3}}{3}$

так как выше было определено, что

$t=2-\sqrt{3}.$

Тогда интегрирование даёт

$\begin{align} & {} \quad \int_{4/3}^{(14-5\sqrt{3})/3} \frac{\frac23\,du}{u^2 + 1} = \left.\frac23 \operatorname{arctg} (u) \right|_{u=4/3}^{u=(14-5\sqrt{3})/3} \\[10pt] & = \operatorname{arctg} \left(\frac{14 - 5 \sqrt{3}}{3}\right) - \operatorname{arctg}\left(\frac{4}{3}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{42 - 15\sqrt{3}}{121}\right). \end{align}$

На последнем шаге использовано известное тригонометрическое тождество

$\operatorname{arctg}(p) - \operatorname{arctg}(q) = \operatorname{arctg}\left(\frac{p-q}{1+pq}\right).$

Третий пример

Подстановку Вейерштрасса можно использовать при нахождении интеграла от секанса:

$\int \sec x \, dx.$

Имеем

$\int \frac{dx}{\cos x} = \int \frac{\left(\frac{2\,dt}{1+t^2}\right)}{\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)} = \int \frac{2\,dt}{1-t^2} = \int \frac{2\,dt}{(1-t)(1+t)}.$

Как и в первом примере, используем разложение дроби:

$\begin{align} & {} \quad \int \left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} \right) \, dt = -\ln\left|1-t\right| + \ln\left|1+t\right| + C = \ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C \\[10pt] & = \ln\left|\frac{1+t^2}{1-t^2} + \frac{2t}{1-t^2} \right| + C = \ln\left|\sec x + \operatorname{tg} x\right| + C. \end{align}$

Геометрия

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Линейное преобразование дробей

Два компонента

$\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}$

являются соответственно действительной и мнимой частями числа

$\frac{i - t}{i + t}$

(считаем, что t действительное).

Примечания

1. ↑ James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Brooks/Cole, 1991, page 439

Ссылки

• Подстановка Вейерштрасса на сайте PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Weierstrass Substitution." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.  (англ.)