Нулевой элемент

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение

Пусть $(M,\cdot)$ — множество M с определённой на нём бинарной операцией $\cdot$. Элемент $e \in M$ называется нейтральным относительно $\cdot$, если

$x \cdot e = e \cdot x = x, \quad \forall x \in M.$

Иногда различают нейтральный слева элемент $~e_{\mathrm{l}}$, для которого

$e_{\mathrm{l}} \cdot x = x, \quad \forall x \in M,$

и нейтральный справа элемент $~e_{\mathrm{r}}$, для которого

$x \cdot e_{\mathrm{r}} = x, \quad \forall x \in M.$

Замечания

• В общем случае нейтральный слева и нейтральный справа элементы могут не совпадать или же не существовать.

• В приведённой выше мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть «единицей». Если для обозначения операции используется аддитивная нотация + , то нейтральный элемент называют «нулём» (не путать с числами 1 и 0, соответственно).

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	+ (сложение)	число 0
Вещественные числа	$\cdot$	число 1
Вещественные числа	ab (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Матрицы размера $m \times n$	+ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера $n \times n$	$\cdot$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	Тождественное отображение
Функции вида $f: M \to M$	* (свёртка)	δ (дельта-функция)
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	$\min\,$ (минимум) или $\inf$ (инфимум)	$+\infty$
Расширенная числовая прямая	$\max\,$ (максимум) или $\sup$ (супремум)	$-\infty$
Подмножества множества M	$\cap\,$ (пересечение множеств)	M
Множества	$\cup$ (объединение множеств)	$\emptyset$ (пустое множество)
Булева логика	$\wedge$ (логическое и)	$\top$ (истина)
Булева логика	$\lor$ (логическое или)	$\bot$ (ложь)

См. также

• Обратный элемент
• Моноид
• Группа