Якобиан отображения

Якобиан отображения — определённое обобщение производной для функции одной переменной для отображений из Евклидова пространства в себя. Якобиан выражается как определитель матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения $f$ в точке $x$ обычно обозначается $\mathop{\rm Jac}_xf$.

Определение

Пусть $f:E\to \R^n$, $E\subseteq R^n$ дифференцируема в точке $x\in E$. Матрица из частных производных координатных функций данного отображения в точке $x\in E$

$\begin{pmatrix} \frac{df^1}{dx_1}(x)&\ldots & \frac{df^1}{dx_m}(x)\\ \vdots &\ddots & \vdots\\ \frac{df^n}{dx_1}(x) &\ldots & \frac{df^n}{dx_m}(x) \end{pmatrix}$

называется матрицей Якоби в этой точке. Определитель этой матрицы называется Якобиан.

История

Введён Якоби (1833, 1841).

Свойства

• Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке $x$ равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки $x$ к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
• Якобиан в точке $x$ положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
• Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области $\Delta$, то отображение $\Delta$ является локальным диффеоморфизмом.