Двойной интеграл

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов взятых от $\ d > 1$ переменных. Например:

$\underbrace {\int\cdots\int}_{d}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\cdots dx_d$

Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число.

Определение кратного интеграла

Определение на $\varepsilon -\delta$ языке

Кратным интегралом (n-кратным) функции f на компакте B называется число I (если оно существует), такое что $\forall \varepsilon>0\;\; \exists \delta=\delta(\varepsilon)\;$, такое что $\forall\beta$(разбиение) с $\lambda > \delta\;$ и любого выбора точек выполняется:

$|\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(B_i)\;-\;I|\;<\;\varepsilon$.

Определение с использованием интегральных сумм

Пусть множество $G\subset {{\mathbb{R}}^{d}}$ измеримо, функция $f\left( X \right)$ определена на $\ G$. Рассмотрим разбиение множества $G:\tau =\left\{ {{G}_{k}} \right\}_{k=1}^{n}$.

1) $\forall k=\overline{1,n}\ {{G}_{k}}$ измеримо,

2) $\forall k\ne j\ {{G}_{k}}\cap {{G}_{j}}=\varnothing$,

3) $\bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{G}_{k}}}=G$.

Введем $\Delta \tau =\max \left\{ \operatorname{diam}\left( {{G}_{k}} \right),k=\overline{1,n} \right\}$ — мелкость разбиения $\ \tau$, $\zeta =\left\{ {{X}^{k}} \right\}_{k=1}^{n}:\forall k=\overline{1,n}\ \ {{X}^{k}}\in {{G}_{k}}$ — набор промежуточных точек.

Рассмотрим интегральную сумму $\sigma \left( f,\tau ,\zeta \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{X}^{k}} \right)\mu \left( {{G}_{k}} \right)}$, где $\mu \left( {{G}_{k}} \right)$ есть мера $\ {{G}_{k}}$.

Если существует конечный предел $\ \underset{\Delta \tau \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sigma \left( f,\tau ,\zeta \right)=I$, то говорят, что $\ f$ интегрируема по Риману на множестве $\ G$, и обозначают этот факт следующим образом:

1) В векторном виде: $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I$,

2) Либо ставят значок интеграла $\ d$ раз, записывают функцию и $\ d$ дифференциалов: $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1}}\cdots d{{x}_{d}}=I$.

Существование кратного интеграла

Достаточные условия

• Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компакте, то она интегрируема на нем.

• Если функция определена на измеримом по Жордану множестве, у которого существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых данная функция неограничена на объединении всех их элементов положительной меры, то эта функция неинтегрируема на этом множестве.

Критерий Дарбу

Свойства кратных интегралов

Линейность по функции

Пусть $\ G$ измеримо, функции $\ f$ и $\ g$ интегрируемы на $\ G$, тогда

$\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R}\ \ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\mu \int\limits_{G}{gdX}$.

Аддитивность по множеству интегрирования

Пусть множества $\ {{G}_{1}}$ и ${{\ G}_{2}}$ измеримы, ${{G}_{1}}\cap {{G}_{2}}=\varnothing$ и ${{G}_{1}}\cup {{G}_{2}}=G$. Пусть также функция $f\left( X \right)$ определена и интегрируема на каждом из множеств $\ {{G}_{1}}$ и $\ {{G}_{2}}$. Тогда

$\exists \int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=\int\limits_{{{G}_{1}}}{f\left( X \right)dX}+\int\limits_{{{G}_{2}}}{f\left( X \right)dX}$.

Сохранение неравенств при интегрировании

Пусть $\ G$ измеримо, функции $\ f$ и $\ g$ интегрируемы на $\ G$, причем $\forall X\in G\ \ f\left( X \right)\le g\left( X \right)$. Тогда $\ \int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}\le \int\limits_{G}{g\left( X \right)dX}$.

Интегральное неравенство треугольника

Следствие предыдущего свойства. $\left| \int\limits_{G}{f\left( X \right)dX} \right|\le \int\limits_{G}{\left| f\left( X \right) \right|dX}$

Интегральная теорема о среднем

Пусть $\ G$ — компакт, функция $f\left( X \right)$ непрерывна и интегрируема на $\ G$, тогда $\exists Y\in G:\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=f\left( Y \right)\mu \left( G \right)$

Прочие свойства

1) Если $f\left( X \right)\equiv c$, то она интегрируема на любом измеримом множестве $\ G$, причем $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=c\cdot \mu \left( G \right)$.

2) Следствие 1). $\int\limits_{G}{dX}=\mu \left( G \right)$.

Вычисление кратных интегралов

Сведение кратного интеграла к повторным

Пусть $D\subset {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ — измеримое множество, $G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\}$ — также измеримое множество, $f\left( X \right)$ определена и интегрируема на $\ G$. Тогда

$\int\limits_{G}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int\limits_{D}{\left[ \int\limits_{\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)}{f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)d{{x}_{d}}} \right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$.

Любой d-мерный интеграл можно свести к d одномерным.

Замена переменных в кратном интеграле

Пусть у нас задано биективное отображение ${{\mathbb{R}}^{d}}\to {{\mathbb{R}}^{d}}$, переводящее область $\ {{D}'}$ в $\ D$:

$\left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ & {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ & \ldots \\ & {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.$,

где t — «старые» координаты, а x — «новые» координаты. Пусть также функции, задающие отображение, имеют в области $\ {{D}'}$ непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля Якобиан $\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)}$. Тогда при условии существования интеграла $\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}$ справедлива формула замены переменных:

$\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}$

Двойной интеграл

Геометрический смысл двойного интеграла

Двойным интегралом называют кратный интеграл с $\ d = 2$.

$\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }$. Здесь $\ d\sigma$ — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$, где $\ dxdy$ — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция $f\left( x,y \right)$ принимает в области $\ D$ только положительные значения. Тогда двойной интеграл $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)d\sigma }$ численно равен объему $\ V$ вертикального цилиндрического тела, построенного на основании $\ D$ и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности $z=f\left( x,y \right)$.

Выражение двойного интеграла через полярные координаты

Переход из прямоугольных координат в полярные.

Переход из прямоугольных координат в полярные.

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ r$. Таким образом получаем, что

$\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$.

Здесь $\ rdrd\varphi$ является элементом площади в полярных координатах.

Пример перехода в произвольную систему координат

Посчитаем площадь области $D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}$.

Переход в полярную систему координат не сделает область проще:

${D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1}{4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}$.

Множитель перед синусом «мешает». В этом случае переход можно немного скорректировать:

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.$.

Это преобразование переведет исходную область в следующую:

${D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0\le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.$.

Якобиан отображения:

$\left| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{r}} & {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{{x}'}}_{\varphi }} & {{{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{matrix} \right|=2r$.

Модуль Якобиана также равен 2r.

Отсюда

$S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi$.

Результат верный, так как область $\ D$ ограничена эллипсом, заданным каноническим уравнением. Площадь можно посчитать по формуле S = πab. Путем подстановки убеждаемся в верности вычисления интеграла.

Приложения двойных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Полярные координаты
Площадь плоской фигуры	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi }$
Масса тонкой плоской пластинки плотностью μ	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$
Площадь куска поверхности1)	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi } \right)}^{2}}}drd\varphi }$
Объем цилиндрического тела, стоящего на плоскости XOY	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma }$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }$
Момент инерции плоской фигуры2) относительно оси OZ3)	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }$
Момент инерции плоской фигуры2) относительно оси OX3)	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Координаты центра тяжести однородной пластинки3)	${{x}_{c}}=\frac{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}{S}$ ${{y}_{c}}=\frac{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}{S}$	$\begin{align} & \frac{\iint\limits_{G}{xdxdy}}{S} \\ & \frac{\iint\limits_{G}{ydxdy}}{S} \\ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }}{S} \\ & \frac{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }}{S} \\ \end{align}$
Примечания	1) Область G — проекция на плоскость XOY; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности; γ — угол между касательной плоскостью и плоскостью XOY. 2) Совмещенной с плоскостью XOY. 3) Или, что то же, относительно центра О.

Тройной интеграл

Тройным интегралом называют кратный интеграл с $\ d = 3$.

$\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\upsilon }$ Здесь $\ d\upsilon$ — элемент объема в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах $\iiint f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$, где $\ dxdydz$ является элементом объема в прямоугольных координатах.

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты

Объем в цилиндрических координатах

Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ r$. Таким образом получаем, что

$\iint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd\varphi dh}$

Здесь $rdrd\varphi dh$ является элементом объема в цилиндрических координатах.

Выражение тройного интеграла через сферические координаты

Объем в сферических координатах

Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{align} \right.$

Модуль якобиана отображения равен $\ {{r}^{2}}\sin \theta$. Таким образом получаем, что

$\iint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }$

Здесь ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$ является элементом объема в цилиндрических координатах.

Приложения тройных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Цилиндрические координаты	Сферические координаты
Объем тела	$V=\iiint\limits_{G}{d\upsilon }$	$\iiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Момент инерции геометрического тела относительно оси OZ	${{I}_{z}}=\iiint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\upsilon }$	$\iiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Масса физического тела с плотностью μ	$m=\iiint\limits_{G}{\mu d\upsilon }$	$\iiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Координаты центра тяжести однородного тела	$\begin{align} & {{x}_{c}}=\frac{\iiint\limits_{G}{xd\upsilon }}{V} \\ & {{y}_{c}}=\frac{\iiint\limits_{G}{yd\upsilon }}{V} \\ & {{z}_{c}}=\frac{\iiint\limits_{G}{zd\upsilon }}{V} \\ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{\iiint\limits_{G}{xdxdydz}}{V} \\ & \frac{\iiint\limits_{G}{ydxdydz}}{V} \\ & \frac{\iiint\limits_{G}{zdxdydz}}{V} \\ \end{align}$	—	—

См. также

• Интеграл
• Мера множества

Литература

• Выгодский, М. Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике. — М.: Астрель, АСТ, 2005. — 991 с. — 10000 экз. — ISBN 5-17-012238-1, 5-271-03651-0
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 2. — 464 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5
• Кудрявцев, Л. Д. Глава 6. Интегральное исчислений функций многих переменных // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 2. — 584 с.