Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

$y=f(x)$,   $f:X\to Y$,

заданной уравнением

$F(x,y)=z_0$,   $F:X\times Y\to Z$

и значение $z_0\in Z$ фиксированно.

Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция $F:\R\times\R\to\R$ непрерывна в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ $F(x_0,y_0)=0$ и при фиксированном x функция F(x,y) строго монотонна по y в данной окрестности, тогда найдётся такой двумерный промежуток $I=I_x \times I_y$, являющийся окрестностью точки $(x_0,y_0)$, и такая непрерывная функция $f:I_x\to I_y$, что для любой точки $(x,y) \in I$ $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)$

Обычно дополнительно предполагается, что функция $F$ непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотонности следует из того, что $F_y'(x_0,y_0)\ne0\quad$, здесь $F_y'$ обозначает частную производную $F$ по $y$. Более того, в этом случае производная функции $f$ может быть вычислена по формуле

$f'(x) = - \frac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.$

Многомерный случай

Пусть $\R^n$ и $\R^m$ суть $n$- и $m$-мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно $x=(x_1,\dots,x_n)$ и $y=(y_1,\dots,y_m)$. Пусть $F$ отображает некоторую окрестность $W$ точки $(x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m$ в пространство $\R^m$ и $F_1,F_2,\ldots,F_m$ — координатные функции (от переменных $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m$) отображения $F$, то есть $F=(F_1,F_2,\ldots,F_m)$.

Предположим, что $F(x_0,y_0)=0$ и отображение $F$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемым в окрестности $W$, а якобиан отображения $y\mapsto F(x_0,y)$ не равен нулю в точке $y_0$, т.е. определитель матрицы $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$ не равен нулю. Тогда существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_0$ и $y_0$ соответственно в пространствах $\R^n$ и $\R^m$, причем $U\times V\subset W$, и единственное отображение $f : U \to V$, такие, что для всех $x\in U$ выполняется тождество $F(x, f(x)) = 0\,$. При этом $f(x_0)=y_0$ и отображение $f$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемым на $U$.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
• Зорич В. А., Математический анализ, Любое издание.
• Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965;
• Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;
• Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972;
• Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.