- Проблема якобиана
-
Проблема якобиана - проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.
Содержание
Условия
Рассмотрим набор полиномов
(1) (принадлежащих множеству всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных
). Предположим, что система уравнений
имеет единственное решение
для любого набора
(принадлежащего множеству комплексных чисел), причём существуют такие многочлены
, что каждое
. Предполагается, что многочлены
не зависят от набора свободных членов
. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из
однозначно представляется в виде многочлена от
(и от
). Система (1) задаёт полиномиальное отображение
, при котором
(2). Отображение
является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение
, переводящее
в
также является полиномиальным. Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения
)
размера
, в которой на месте
стоит частная производная
. Зададим другое полиномиальное отображение
и
- их композиция (произведение).
. Вычисляя определители, получаем, что
. В частности, если заданы полиномиальные отображения
и
, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица
, и, следовательно,
является ненулевой константой.
Формулировка
Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение
вида (2), причем
является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из
в виде многочлена от
?
Результаты
Достаточно решить проблему якобиана в случае, когда
и степени
не выше 150, а также если
любое, но степени всех многочленов
не выше 2.[1] Кроме того, за счет увеличения числа переменных можно считать, что каждое
является многочленом степени не выше 3[1].
Примечания
Литература
- В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110 - 113;
Категории:- Алгебраическая геометрия
- Математические гипотезы
Wikimedia Foundation. 2010.