Вариация отображения

Вариация отображения — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами.

Понятие «вариация отображения» было определено С. Банахом^[1].

Двухмерный случай

Рассмотрим определение вариации отображения для двухмерного случая.

Пусть дано отображение

$\alpha\colon x=f(u,\;v),\;y=\varphi(u,\;v),$

где $f(u,\;v)$ и $\varphi(u,\;v)$ — непрерывные на квадрате $D_0=[0,\;1]\times[0,\;1]$ функции. Говорят, что отображение $\alpha$ имеет ограниченную вариацию, если существует число $M>0$ такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов $D^i\subset D_0\;(i=1,\;2,\;\ldots)$ со сторонами, параллельными осям координат $u,\;v$, справедливо неравенство

$\sum_i\mathrm{mes}\,D^i_{xy}\leqslant M,$

где $D_{xy}$ — образ множества $D^i\subset D_0$ при отображении $\alpha$,

$\mathrm{mes}\,D$ — плоская мера Лебега множества $D$.

Численное значение вариации отображения $V(\alpha)$ может быть определено различными способами. Например, если отображение $\alpha$ имеет ограниченную вариацию, то его вариация $V(\alpha)$ может быть определена по формуле:

$V(\alpha)=\iint\limits_{-\infty}^{\quad+\infty}N(s,\;t)\,ds\,dt,$

где $N(s,\;t)$ — число решений системы $f(u,\;v)=s,\;\varphi(u,\;v)=t$, или так называемая индикатриса Банаха отображения $\alpha$.

Было показано^[2], что если отображение $\alpha$ имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на $D_0$ существует обобщенный якобиан $J(P)$, где $P\subset D_0$, который интегрируем на $D_0$. При этом

$J(P)\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{\mathrm{mes}\,K\to 0}\frac{\mathrm{mes}\,K_{xy}}{\mathrm{mes}\,K},$

где $K\subset D_0$ — квадрат, содержащий точку $P\subset D_0$, стороны которого параллельны осям $u,\;v$;

$K_{xy}$ — образ множества $K$;

$\mathrm{mes}\,K$ — плоская мера Лебега множества $K$.

Литература

• Лаврентьев, М. А., Шабат, Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Гриффитс, Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. — М.: Мир, 1986. — 360 с.
• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.

Примечания

1. ↑ Banach S. Fundamenta Mathematicae. — 1925. — t. 7. — p. 225—-236.
2. ↑ Кудрявцев Л. Д. Метрические вопросы теории функций и отображений. — в. 1. — К., 1969. — с. 34—108

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.