- ВАРИАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ
числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Определена С. Банахом [1]. Ниже дается определение лишь для двумерного случая. Рассмотрим отображение
где
и 
-непрерывные на квадрате 
X
функции. Говорят, что отображение 
имеет ограниченную вариацию, если существует число 
такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов 
со сторонами, параллельными осям координат 
справедливо неравенство
где
обозначает образ множества 
при отображении 
, а 
- плоскую меру Лебега множества Е. При этом численное значение 
В. о.
может быть определено различными способами. Напр., пусть отображение 
имеет ограниченную вариацию. Тогда вариация 
может быть определена по формуле
где
- число решений системы 
(индикатриса Банаха отображения 
), Если отображение 
имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на 
существует обобщенный якобиан 
, к-рый интегрируем на 
. При этом.
где
- квадрат, содержащий точку 
, стороны к-рого параллельны осям 
(см. [2]).
Лит.: [1] Ваnасh S., "Fundara. math.", 1925, t.7, p. 225- 36; [2] Кудрявцев Л. Д., в сб.; Метрические вопросы теории функций и отображений, в. 1, К., 1969, с. 34-108.
Б. И. Голубое.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
