- Субгармоническая функция
-
Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи, и класс гармонических функций.
Содержание
Определение
Рассмотрим функцию , где и полунепрерывна сверху на . Она будет называться субгармонической, если для произвольного шара и любой вещественнозначной функции , непрерывной на , гармонической в и удовлетворяющей неравенству на последнее неравенство будет выполняться и во всем шаре .
Определение супергармонической функции двойственно приведённому — функция называется супергармонической, если функция субгармоническая.
Основные свойства
- — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
- Если — открытое множество и ( — класс дважды непрерывно дифференцируемых на функций), то для субгармоничности необходимо и достаточно выполнение на условия ( — оператор Лапласа).
- Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.
Связь с аналитическими функциями
Теория субгармонических функций находит немалое применение в комплексном анализе, потому что субгармонические и аналитические функции тесно связаны. А именно, можно показать что для любой аналитической в некоторой области функции функция будет субгармонической в , если рассматривать как подмножество .
См. также
Категории:- Гармонические функции
- Типы функций
Wikimedia Foundation. 2010.