Плюрисубгармоническая функция

Плюрисубгармноническая функция — вещественнозначная функция $u=u(\vec z)$ , от $n$ комплексных переменных $\vec z=(z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n)$ в области $D$ комплексного пространства $\C^n$, $n\geqslant 1$, удовлетворяющая следующим условиям:

1. $u(z)$ полунепрерывна сверху всюду в $D$;
2. $u(z_0+\lambda a)$ есть субгармоническая функция переменного $\lambda\in\C$ в каждой связной компоненте открытого множества $\{\lambda\in\C\mid z_0+\lambda a\in D\}$ для любых фиксированных точек $z_0\in D$, $a\in\C^n$.

Примеры

$\ln|f(z)|$, $|f(z)|^p$ при $p\geqslant 0$, где $f(z)$ — голоморфная функция в $D$.

Связанные определения

Функция $v(z)$ называется плюрисупергармонической функцией, если $-v(z)$ есть плюрисубгармноническая функция.

Свойства

Плюрисубгармонические функции являются субгармоническими, но при $n>1$ обратное не верно.

Помимо общих свойств субгармонических функций, для плюрисубгармонических функций справедливы следующие:

• $u(z)$ есть плюрисубгармоническая функция в области $D$ тогда и только тогда, когда $u(z)$ — плюрисубгармоническая функция в окрестности каждой точки $z\in D$;
• линейная комбинация плюрисубгармонических функций с положительными коэффициентами есть плюрисубгармоническая функция;
• пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей плюрисубгармонических функций суть плюрисубгармоническиe;
• для любой точки $z_0\in D$ среднее значение

$\oint\limits_{S_r(z_0)}u$

по сфере радиуса $r$, есть возрастающая функция по $r$, выпуклая относительно $\ln r$ на отрезке $0<r<R$, если шар $B_R(z_0)$ расположен в $D$;

• при голоморфных отображениях плюрисубгармоническая функция переходит в плюрисубгармоническую;
• если $u(z)$ — непрерывная плюрисубгармоническая функция в области $D$, $E$ — замкнутое связное аналитическое подмножество $D$ и сужение $u|_E$ достигает максимума на $E$, то $u(z)=\mathrm{const}$ на $E$.

См. также

• Плюригармоническая функция

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Добавить иллюстрации.