ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ АБСТРАКТНАЯ

- теория потенциала на абстрактных топология, пространствах. П. т. а. возникла в сер. 20 в. из стремления охватить единым аксиоматич. методом широкое многообразие свойств различных потенциалов, применяемых при решении разнообразных задач теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первое достаточно полное изложение аксиоматики "гармонических" функций (т. е. решений допустимого класса уравнений с частными производными) и соответствующих потенциалов было дано М. Брело (1957-58, см. [1]), но оно охватывало только уравнения эллиптич. типа. Расширение теории, пригодное и для широкого класса уравнений параболич. типа, получено X. Бауэром (1960-63, см. [3]). Весьма плодотворным оказался вероятностный подход к П. т. а., начало к-ромубыло положено еще в работах П. Леви (P. Levy), Дж. Дуба (J. Doob), Г. Ханта (G. Hunt) и др.

Для изложения П. т. а. удобно понятие гармонического пространства. Пусть X- локально компактное топологич. пространство. Пучком функций на Xназ. отображение , определенное на семействе всех открытых множеств Xи такое, что

1) (U).для любого открытого множества есть семейство функций ;

2) если открытые множества U, V таковы, что UVX, то сужение любой функции из (F) на Uпринадлежит (U).

3) если для любого семейства , открытых множеств сужения нек-рой определенной на функции ина U_i для всех принадлежат , то .

Пучок функций на Xназ. гармоническим пучком, если для любого открытого множества семейство есть действительное векторное пространство непрерывных функций на U. Функция u, определенная на нок-ром множестве , содержащем открытое множество U, наз. -функцией, если сужение u|U принадлежит (U). Гармонич. пучок невырожден в точке , если в окрестности x существует -функция итакая, что

Реальные различия в аксиоматиках Бауэра, Брело, Дуба характеризуются свойствами сходимости функций.

а) Свойство сходимости Бауэра состоит в том, что если возрастающая последовательность

-функций локально ограничена на нек-ром открытом множестве , то предельная функция vесть функция.

б) Свойство сходимости Дуба состоит в том, что если предельная функция vконечна на плотном множестве в X, то vесть -функция.

в) Свойство сходимости Брело состоит в том, что если предельная функция vвозрастающей последовательности -функций на нек-рой области конечна в точке , то vесть -функция.

Если пространство Xлокально связно, то имеют место импликации в) б) а).

Пучок функций на Xназ. гипергармоническим пучком, если для любого открытого множества семейство есть выпуклый конус полунепрерывных снизу функций ;

-функция определяется аналогично -функции. Отображение есть гармонич. пучок , порожденный пучком ; только этот гармонич. пучок будет использоваться в дальнейшем.

Пусть на границе дU открытого множества дана непрерывная функция с компактным носителем. Гипергармонич. пучок позволяет построить Перрона методом обобщенное решение задачи Дирихле для нек-рых открытых множеств в классе соответствующих -функций. Пусть - семейство полунепрерывных снизу -функций и, ограниченных снизу на U, положительных вне нек-рого компакта и таких, что

можно положить . Пусть теперь

и , если . Аналогично,

или . Функция наз. разрешимой, если для нее и совпадают, , H_j является -функцией; эта функция Н _j. и есть обобщенное решение задачи Дирихле в классе -функций. Открытое множество разрешимо относительно , если разрешима любая конечная непрерывная функция с контактным носителем на дU. Для разрешимого множества Uотображение есть положительный линейный функционал, к-рый, следовательно, определяет положительную меру , наз. гарионической мерой на дU в точке х(относительно ).

Локально компактное пространство X с гипергармонич. пучком превращается в гармоническое пространство, если для него выполняются соответствующие четыре аксиомы (см. Гармоническое пространство), причем в аксиоме сходимости имеется в виду свойство Бауэра.

Часто (в классич. примерах именно так и обстоит дело) за основу берется гармонич. пучок , а аксиома мажоранты служит тогда определением гипергармонич. пучка. Напр., евклидово пространство , с пучком классич. решений уравнения Лапласа или уравнения теплопроводности в качестве является гармонич. пространством. Гармонич. пространство локально связно, не содержит изолированных точек и имеет базис из связных разрешимых множеств (разрешимых областей).

Открытое множество Uгармонич. пространства Xс сужением |U в качестве гипергармонич. пучка есть гармоническое пространство X. Гипергармонич. функция ина наз. супергармонической функцией, если для любого относительно компактного разрешимого множества V, , наибольшая миноранта m^V и является гармонической, . Многие свойства классических супергармонич. функций (см. Субгармоническая функция).выполняются и здесь. Потенциалом наз. такая положительная супергармонич. функция и, для к-рой наибольшая гармонич. миноранта m^V и на Xтождественно равна нулю. Гармонич. пространство Xназ. -гармоническим (или -гармоническим) пространством, если для любой точки существует положительная супергармонич. функция и(соответственно потенциал и).на Xтакая, что u(x)>0. Любое открытое множество -гармонического пространства разрешимо.

Принимая за основу гармонич. пучок и определяя соответствующий гипергармонич. пучок с помощью аксиомы мажоранты, получают пространство Бауэра, совпадающее с гармонич. пространством для . Если гармонич. пучок для любого открытого множества состоит из решений hуравнения теплопроводности , то обладает свойством сходимости Дуба и с этим пучком есть -пространство (Бауэра). При этом v - гипергармонич. функция класса С ² тогда и только тогда, если Dv- дv/дt0.

Пространство Брело характеризуется следующими условиями: Xне имеет изолированных точек и локально связно; регулярные множества относительно образуют базу X(регулярность - это разрешимость классич. задачи Дирихле в классе ); обладает свойством сходимости Брело. Пространства Брело составляют собственный подкласс т. н. эллиптических гармонич. пространств (см. [4]), т. е. эллиптич. пространств Бауэра. Если гармонич. пучок Ж для любого открытого множества , состоит из решений иуравнения Лапласа Du=0, то с этим лучком есть -пространство Брело, а при есть -пространство Брело. При этом v - гипергармонич. функция класса С ² тогда и только тогда, если Dv0.

Точка уграницы дU разрешимого множества Uгармонич. пространства наз. регулярной граничной точкой, если для любой конечной непрерывной функции ф на дU имеет место предел

а в противном случае уназ. иррегулярной граничной точкой. Пусть F - фильтр на U, сходящийся к y. Барьером фильтра Fназ. строго положительная гипергармонич. функция v, определенная на пересечении Uс нек-рой окрестностью уи сходящаяся к 0 вдоль F. Если для относительно компактного разрешимого множества U -гармонического пространства все фильтры, сходящиеся к точкам , имеют барьер, то U - регулярное множество, т. е. все его граничные точки регулярные. Если U - относительно компактное открытое множество -гармонического пространства, на к-ром существует строго положительная гипергармонич. функция, сходящаяся к 0 в каждой точке , то V - регулярное множество.

Кроме изучения разрешимости и регулярности в задаче Дирихле, к основной проблематике П. т. а. относятся: теория емкости точечных множеств на гармонич. пространствах Х;теория выметания (см. Выметания метод).функций и мер на X;теория интегральных представлений положительных супергармонич. функций на X, обобщающая представления Мартина (см. Мартина граница).

Уже в нач. 20 в. была замечена тесная связь теории потенциала с нек-рыми вопросами теории вероятностей, такими, как броуновского движения процесс, винеровский процесс, марковский процесс. Напр., вероятность того, что траектория броуновского движения в плоской области , исходящая из точки , встретит в первый раз границу дG на (борелевском) множестве , есть не что иное, как гармоническая мера множества Ев точке х ₀ полярные множества границы дG суть при этом те множества, к-рые траектории не встречают почти наверное. В дальнейшем вероятностные методы способствовали более глубокому пониманию нек-рых идей теории потенциала и привели к ряду новых результатов; с другой стороны, теоретико-потенциальный подход уменьшает отчужденность теории вероятностей и также приводит в ней к новым результатам.

Пусть X - локально компактное пространство со счетной базой, C_k и С ₀- классы конечных непрерывных функций на Xсоответственно с компактным носителем и стремящихся к 0 на бесконечности. Ядро-мера N( х, Е)0 есть (борелевская) функция от для каждого относительно компактного (борелевского) множества . С помощью Nкаждой функции , ставится в соответствие потенциал-функция

а а мере соответствует потенциал-мера

Единичное ядро I ( х, Е).равно 0 при и равно 1 при , оно не изменяет f(х).и q(E). Напр., в евклидовом пространстве ядро

определяет ньютонов потенциал Nf с плотностью f, а qNесть мера с плотностью, равной ньютонову потенциалу меры q (см. Потенциала теория). Ядро-произведение имеет вид

Семейство ядер , с законом композиции N_t+s=N_tN_s является однопараметрич. полугруппой. Ядро Nудовлетворяет полному принципу максимума, если для любых f, g0 из С _k, и a>0 выполнение неравенства NfNg+a на множестве, где f>0, влечет за собой выполнение этого неравенства всюду на X. Основная в этой теории теорема Ханта в простейшей форме состоит в том, что если образ С _k при отображении Nплотен в С ₀ и N удовлетворяет полному принципу максимума, то существует полугруппа {P_t}, , такая, что

(феллеровская полугруппа); при этом P_t отображает C_k в С ₀, Р ₀- единичное ядро, , локально равномерно и . Функция наз. эксцессивной функцией относительно полугруппы {P_t}, если всегда и =f; если P_tf=f, то f паз. инвариантной функцией. Соответствующие построения имеют место и для потенциала-меры qN.

Очерченная теория Г. Ханта (1957-58) имеет непосредственный вероятностный смысл. Пусть на Xзадана век-рая s-алгебра борелевских множеств и вероятностная мера Р. Случайная величина S=S(x) - это -измеримое отображение X в пространство состояний Семейство случайных величин {S_t}, ,- это случайный марковский процесс, для к-рого S_t(x) - траектория точки , если для каждого у, , существует вероятностная мера Р^y на такая, что

- борелевская функция от у;3) вид траектории, проходящей через ув момент r, при не зависит от положения предыдущих ее точек. Применительно к таким марковским процессам полугруппы {P_t} интерпретируются как полугруппы мер

Важное значение имеет изучение эксцессивных и инвариантных функций относительно полугрупп {P_t}.

С другой стороны, если Xесть -гармоническое пространство со счетной базой, то на нем всегда можно выбрать ядро потенциалов так, чтобы удовлетворялись условия теоремы Ханта, и эксцессивные функции соответствующей полугруппы будут тогда в точности неотрицательными гипергармонич. функциями. Теорема Ханта обобщается и для нек-рых типов пространств Бауэра (см. [4], [7]).

И другие понятия П. т. а., такие, напр., как выметание, полярные и тонкие множества, также получают вероятностную интерпретацию в рамках общей теории случайных процессов, облегчающую их исследование. С другой стороны, для теории вероятностей оказалась важной теоретико-потенциальная трактовка ряда понятий, таких, напр., как мартингалы, выходящих за рамки марковских процессов.

Лит.:[1] Вrеlоt M., Lectures on potential theory, 2 ed., Bombay, 1967; [2] его же, "L'enseign. math.", 1972, t. 18, № 1, p. 1-36; [3] Вauеr Н., Harmonische Raiime und ihre Potentialtheorie, В., 1966; [4] Constantinescu C., Cornea A., Potential theory on harmonic spaces, В., 1972; [5] Mейеp П. - А., Вероятность и потенциалы, пер. е англ., М., 1973; [6] Xант Д ж. - А., Марковские процессы и потенциалы, пер. с англ., М., 1962; [7] Вlumеnthаl R., Gеtооr R., Markov processes and potential theory, N.Y.-L., 1968. Е. Д. Соломенцев.