Плюрисубгармноническая функция

Плюрисубгармноническая функция — вещественнозначная функция u = u(z), $-\infty\leqslant u<+\infty$ от n комплексных переменных $z=(z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n)$ в области D комплексного пространства $\C^n$, $n\geqslant 1$, удовлетворяющая следующим условиям:

1. u(z) полунепрерывна сверху всюду в D;
2. u(z₀ + λa) есть субгармоническая функция переменного $\lambda\in\C$ в каждой связной компоненте открытого множества $\{\lambda\in\C\mid z_0+\lambda a\in D\}$ для любых фиксированных точек $z_0\in D$, $a\in\C^n$.

Примеры

ln | f(z) | , | f(z) | ^p при $p\geqslant 0$, где f(z) — голоморфная функция в D.

Связанные определения

Функция v(z) называется плюрисупергармонической функцией, если − v(z) есть плюрисубгармноническая функция.

Свойства

Плюрисубгармонические функции являюся субгармоническими, но при n > 1 обратное не верно.

Помимо общих свойств субгармонических функций, для плюрисубгармонических функций справедливы следующие:

• u(z) есть плюрисубгармоническая функция в области D тогда и только тогда, когда u(z) — плюрисубгармоническая функция в окрестности каждой точки $z\in D$;
• линейная комбинация плюрисубгармонических функций с положительными коэффициентами есть плюрисубгармоническая функция;
• пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей плюрисубгармонических функций суть плюрисубгармоническиe;
• для любой точки $z_0\in D$ среднее значение

$\oint\limits_{S_r(z_0)}u$

по сфере радиуса r, есть возрастающая функция по r, выпуклая относительно lnr на отрезке 0 < r < R, если шар B_R(z₀) расположен в D;

• при голоморфных отображениях плюрисубгармоническая функция переходит в плюрисубгармоническую;
• если u(z) — непрерывная плюрисубгармоническая функция в области D, E — замкнутое связное аналитическое подмножество D и сужение u | _E достигает максимума на E, то u(z) = const на E.