- ФРАГМЕНА - ЛИНДЕЛЁФА ТЕОРЕМА
- обобщение максимума модуля принципа аналитич. функций на случай функций, априори заданных как неограниченные; впервые в простейшей форме дано Э. Фрагмеyом и Э. Линделёфом [1]. Пусть f(z) - регулярная аналитич. ция комплексного переменного zв области Dна плоскости С с границей Г. Говорят, что f(z) не превосходит но модулю числа Мв граничной точке
если
т. е. если для любогонайдется круг
(зависящий от
и
с центром
такой, что
при
Основное содержание результатов Э. Фрагмена и Э. Линделёфа, в несколько модернизированной форме, заключается в следующих двух положениях, последовательно расширяющих принцип максимума модуля. I. Если регулярная аналитич. ция f(z) всюду на границе Г не превосходит по модулю числа M, то
всюду в области D. Это положение иногда называют принципом Фрагмена - Линделeфа. Оно расширяет принцип максимума модуля на функции, о граничном поведении к-рых имеется лишь частичная информация.
II. Пусть регулярная аналитич. ция f(z) не превосходит по модулю числа Мво всех точках границы Г, не принадлежащих нек-рому множествуПусть, кроме того, существует функция
со следующими свойствами: 1)
регулярна в D,2)
в D,3)
в D,4) для любого
функция
не превосходит числа Мв каждой точке
При этих условиях
всюду в D.
Ф.- Л. т. получила многочисленные применения, также часто именуемые теоремами Фрагмена - Линделёфа и связанные с конкретным видом области D, множества Еифункции(см. [1] - [4], в частности обобщения Ф.- Л. т. в [4]). Чаще всего в приложениях множество Есостоит из одной точки
Напр., пусть функция f(z) регулярна в угловой области
и на сторонах угла не превосходит по модулю числа М. Тогда имеет место альтернатива:либовсюду в D, либо максимум модуля
растет быстрее при
чем ехр (rk) при любом k,
Эта теорема получается из положений I и II при
где
Формулировки I и II остаются в силе для голоморфной функции f(z), z=(z1, ..., zn), заданной в области Dкомплексного пространстваМногие работы посвящены получению результатов типа Ф.-Л. т. для решений дифференциальных уравнений с частными производными и систем уравнений эллиптпч. типа. Положения I и II остаются верными для субгармонической функции и (Р), определенной в области Dевклидова пространства
или
при условии, что в них | f(z) | заменяется на и(Р), а функция
предполагается логарифмически-субгармонической в D(см. [5], [6]). Напр., пусть и(z)-субгармоническая функция в угловой области (*) и на сторонах угла не превосходит числа М. Тогда имеет место альтернатива: либо
всюду в D, либо максимум
растет быстрее, чем rk при любом k,
Аналогичные результаты имеются и для решений других эллиптич. уравнении. Их можно назвать лслабыми
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.