Теорема Гамильтона

Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Теорема Гамильтона — Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если $\ A$ — квадратная матрица и $\ c(\lambda)$ её характеристический многочлен, то $\ c(A)=0$.

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

$c(\lambda)=\det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}),$

тогда

$c(A)=A^2-(a_{11}+a_{22})A+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})E=$

$=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}-(a_{11}+a_{22})\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=0.$

• Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.
• Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

Доказательство  

Рассмотрим присоединённую (союзную) λ-матрицу $\ (A-\lambda E)^*$, где $\ E$ — единичная матрица, тогда согласно определению присоединённой матрицы

$(A-\lambda E)^*(A-\lambda E)=(A-\lambda E)(A-\lambda E)^*=\det(A-\lambda E)E=c(\lambda)E.$

Это означает, что $\lambda$-матрица $\ c(\lambda)E$ делится без остатка на $\ A-\lambda E$, а значит, согласно следствию из теоремы Безу для $\lambda$-матриц $\ c(A)E=0$, и следовательно $\ c(A)=0$.

См. также

• Матрица (математика)
• Функции от матриц
• Минимальный многочлен матрицы
• Характеристический многочлен матрицы
• Аннулирующий многочлен
• λ-матрицы

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.