Теория Купмана


Теория Купмана

Теорией Ку́пмана — фон Не́ймана (KvN — теорией) в математической физике называется оригинальная переформулировка классической статистической механики, созданная американскими математиками Джоном фон Нейманом и Бернардом Осгудом Купманом[en]. Формализм механики Купмана — фон Неймана максимально приближен к формализму нерелятивистской квантовой механики: состояние динамической системы в ней описывается при помощи классической волновой функции, являющейся аналогом квантовомеханической волновой функции, классическое уравнение Лиувилля приобретает математическую структуру уравнения Шрёдингера и т. д.

Идеологически KvN — теория диаметрально противоположна представлению Вигнера, в котором сходная идея унификации математического аппарата классической статистической и квантовой физики достигается, наоборот, путем преобразования волновой функции, которая появляется в уравнении Шрёдингера, в функцию Вигнера, определенную в классическом фазовом пространстве. Знаменательно, что обе эти теории были созданы практически одновременно — в 19311932 годах.

Содержание

История создания[1]

Истоки KvN — теории тесно вплетены в историю возникновения эргодической теории как самостоятельного раздела математики. К началу 1931 года серьёзной проблемой теоретической физики оставалось отсутствие приемлемого математического обоснования эргодической гипотезы, сформулированной Л. Больцманом еще в 1887 году. Это, в частности, мешало последовательно вывести законы термодинамики газов исходя из микроскопической картины движения большого ансамбля молекул согласно законам Ньютоновской механики.

Прямой предпосылкой к решению проблемы может считаться работа 1930 года американского математика Маршала Харви Стоуна[en] по спектральной теории однопараметрических групп унитарных операторов[2]. Уже в следующем году была опубликована ключевая работа Купмана[3], который заметил, что фазовое пространство классической системы, эволюционирующей в соответствии со стандартными законами классической механики, может быть преобразовано в гильбертово пространство путем постулирования естественного правила интегрирования по точкам фазового пространства в качестве определения скалярного произведения[4]. Замечательно, что эволюция физических переменных при этом начинает описываться унитарными операторами, образующими однопараметрическую группу, для которой справедливы результаты Стоуна. Такое операторное представление классической механики, будучи в то время совершенно новой идеей, побудило фон Неймана, одного из основателей квантовой механики и ведущего эксперта в теории операторов, попробовать применить теоретико-операторный подход к решению эргодической проблемы. Отталкиваясь от результатов Купмана и Вейля, им было завершено создание операторного формализма классической механики, ныне известного как теория Купмана — фон Неймана, и уже в 1932 году была опубликована серия работ, ставших основополагающими для современной эргодической теории, в которых, в частности, была доказана знаменитая статистическая эргодическая теорема[en][5]. Любопытно, что в этом же году им была опубликована также книга «Mathematical Foundations of Quantum Mechanics», которая вошла в историю как первое полное, строгое и систематическое изложение квантовой механики на современном языке гильбертовых пространств.

Основные положения и свойства

Отправной точкой KvN — теории является введение гильбертова пространства комплекснозначных и квадратично интегрируемых функций \Psi(t,p,q) координат q и импульсов p, оснащённого следующим скалярным произведением:

\langle\Psi_1(t)|\Psi_2(t)\rangle{=}\int_p\int_q\Psi_1^*(t,p,q)\Psi_2(t,p,q)dq dp, (1)

где звёздочка означает комплексное сопряжение (для достижения наиболее наглядной аналогии с квантовой механикой здесь и далее для обозначения элементов гильбертова пространства будет применяться алгебраический формализм Дирака)[6]. Квадрат модуля таких функций постулируется равным классической плотности вероятности \rho(p,q,t) нахождения частицы в заданной точке (p,q) фазового пространства в момент времени t:

\rho(t,p,q){=}|\Psi(t,p,q)|^2. (2)

Из данного постулата и определения (1) помимо условия нормировки \langle \Psi(t)|\Psi(t)\rangle{=}1 следует, что среднее значение \langle X\rangle произвольной физической величины X, заданной действительной функцией X(p,q) может быть найдено по формуле:

\langle X\rangle(t){=}\langle \Psi(t)|\hat X\Psi(t)\rangle{=}\langle \Psi(t)\hat X|\Psi(t)\rangle{=}\langle \Psi(t)|\hat X|\Psi(t)\rangle, (3)

которая формально совпадает с аналогичным выражением Шрёдингеровской квантовой механики (смысл крышечки над X будет раскрыт ниже). Это делает правомерным присвоить функции \Psi(t,p,q) название классической волновой функции.

Центральным утверждением теории является постулат о том, что закон эволюции классической волновой функции по форме должен в точности совпадать с уравнением Лиувилля i\frac{\partial}{\partial t}\rho{=}{\hat L}\rho для классического распределения плотности вероятности \rho(t,p,q) в фазовом пространстве:

i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle{=}{\hat L}|\Psi\rangle, (4)

где

\hat{L}{=}{-}i H_p(x, p) \frac{\partial}{\partial x}{+}i  H_x(x, p) \frac{\partial}{\partial p} (5)

— классический оператор Лиувилля. Из данного постулата с учетом свойств (2) и (3) классической волновой функции можно получить для нее наиболее общее выражение:

\Psi(t,p,q){=}\sqrt{\rho(t,p,q)}e^{i \phi(t,p,q)}, (6)

в котором фаза \phi(t,p,q) является произвольной действительной функцией своих аргуметов.

Важной особенностью теории Купмана — фон Неймана является то, что выражения (5) и (6) являются лишь одним из множества возможных эквивалентных представлений динамических уравнений. Наиболее общая современная форма генератора движения (5) имеет следующий вид:

\hat{L}{=}{-}H_p(\hat x, \hat p)\hat\lambda_x{+}H_x(\hat x, \hat p)\hat\lambda_p, (7)

где \hat x, \hat p, \hat\lambda_x, \hat\lambda_p являются самосопряжёнными операторами, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

[\hat x,\hat \lambda_x]{=}i;~~[\hat p,\hat \lambda_p]{=}i;~~[\hat p,\hat x]{=}[\hat \lambda_p,\hat \lambda_x]{=}[\hat p,\hat \lambda_x]{=}[\hat \lambda_p,\hat x]{=}0;, (8)

в которых скобками [\cdot,\cdot] обозначен коммутатор операторов. Соотношения (8) представляют собой классический аналог канонических коммутационных соотношений квантовой механики. Легко проверить, что выражение (5) получается из (8) при выборе \hat x=x, \hat p=p, \hat \lambda_x=-i\frac{\partial}{\partial x}, \hat \lambda_p=-i\frac{\partial}{\partial p}. Однако, как и в квантовой механике, выбор специфической алгебраической формы данных операторов несущественен и определяется лишь соображениями удобства.

Аналогичным образом, любой физической величине X(p,q) ставится в соответствие эрмитов оператор классической наблюдаемой \hat X{=}X(\hat p,\hat q), получаемый путем подстановки операторов вместо соответствующих аргументов. Поучительно, что в отличие от квантовой механики, такая подстановка однозначна благодаря тому, что классические операторы \hat x и \hat p коммутируют. По этой же причине KvN — операторы всех физических величин коммутируют между собой.

Генератор движения (7) также представляет собой эрмитов оператор, а следовательно, временная динамика, описываемая уравнением (4) описывается некоторым унитарным преобразованием U_t классической волновой функции: |\Psi(t)\rangle{=}U_t|\Psi(0)\rangle, причем отображение t\rightarrow U_t представляет собой однопараметрическую группу. В этом смысле уравнение (4) структурно полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера. Именно это наблюдение, сделанное Купманом, и послужило стимулом для развития KvN — теории.

В наши дни возможность вышеизложенной абстрактной операторной формы записи уравнений классической динамики может показаться достаточно очевидной, однако в начале 1930-x годов эта идея была совершенно новой и революционной. Она открывала неожиданные перспективы прямого подключения квантовомеханического математического аппарата, в частности, теории представлений к анализу классических систем, чем и не преминул воспользоваться фон Нейман для доказательства своей эргодической теоремы.[1] В качестве примеров более современных заимствований можно указать методы теории возмущений и функционального интегрирования[7], фейнмановскую диаграммную технику[8].

Соотнесение с квантовой механикой

Несмотря на множество формальных сходств со Шрёдингеровской квантовой механикой, KvN-теория имеет с ней существенные различия. Прямая проверка[6] показывает, что эволюция классической волновой функции (7) по закону (4) распадается на два независимых уравнения для фазы \phi(t,p,q) и предэкспоненциального множителя. Таким образом, фазовый множитель \phi(t,p,q) в KvN-теории выступает в качестве произвольного свободного параметра, который никак не влияет на динамику классических наблюдаемых. Этим классическая волновая функция качественно отличается от квантовой, где аналогичный фазовый множитель несет важную информацию о квантовой когерентности[en], которая и является источником всех специфически квантовых эффектов. По той же причине неселективное измерение не приводит к изменению классической волновой функции[6].

Классическая эволюция
KvN-функции \Psi(t,p,q).
Квантовая эволюция
функции Вигнера P(t,p,q).

Еще одним фундаментальным отличием KvN — механики является обособленное место генератора движения (7) — классического лиувиллиана. Оператор (7) — единственный оператор теории, не соответствующий никакой физической величине и не коммутирующий с операторами физических величин (которые, напомним, все коммутируют между собой вследствие соотношений (8)). По этой причине в KvN-теории для введения генератора движения требуется расширение алгебры операторов физических величин введением специальных вспомогательных «дифференциальных» операторов \lambda_x and \lambda_p. Квантовомеханический случай значительно проще. Квантовый гамильтониан, представляющий генератор движения в уравнении Шрёдингера, одновременно является квантовомеханическим оператором энергии системы и при необходимости может быть выражен через операторы других наблюдаемых, то есть его не нужно искусственно вводить в алгебру квантовых операторов извне. Как знать, не в этом ли различии скрывается фундаментальная философская причина, побудившая Природу «предпочесть» квантовую механику?[9]

Интересным и не до конца изученным остается вопрос, является ли модель Купмана — фон Неймана классическим пределом какого-либо квантового представления. Ответ, причем достаточно неожиданный, имеется только для случая, когда квантовым «контрагентом» классической волновой функции является чистое квантовое состояние.[10] Можно показать, что правильный KvN-генератор движения в форме (7) получается как классический предел \hbar\to0 в соответствующем генераторе движения для функции Вигнера P(p,q). Пикантность ситуации заключается в том, что функция Вигнера и соответствующий ей генератор движения определены не в гильбертовом, а классическом фазовом пространстве, воплощая идею перевода описания квантовомеханических процессов на язык классической механики, по сути диаметрально противоположную концепции KvN-теории. Укрощения борьбы противоположностей можно добиться введя в классическом фазовом пространстве скалярное произведение в форме (1) и постулировав взамен стандартной формулы для вычисления средних

\langle X\rangle{=}\int_p\int_q X(p,q)P(p,q)dq dp, (9)

правило (3) (с подстановкой функции P(p,q) вместо \Psi(p,q)). Доказано, что такое модифицированное представление Вигнера физически корректно для чистых квантовых состояний (т.е. результаты вычисления по формулам (3) и (9) совпадают) и переходит в уравнения механики Купмана — фон Неймана в классическом пределе \hbar\to0. Замечательно, что при этом радикальным образом снимается проблема отрицательности «функции квазивероятностного распределения Вигнера», поскольку в новой интерпретации вероятностное распределение не совпадает с функцией P(p,q), а вычисляется по формуле (2) и всегда положительно. Однако, существенной слабой стороной изложенной схемы является невозможность её распространения на случай смешанных квантовых состояний.

Значение

За годы своего существования теория Купмана — фон Неймана, в отличие от достаточно широко используемого представления Вигнера, не сумела найти прямого практического применения, и поэтому ее упоминание в научной литературе в основном можно встретить на страницах изданий, предназначенных для узкого круга специалистов по математической физике. По причине сравнительно низкой известности теории ее историческое значение и методологический потенциал остаются малоисследованными.

В современных работах KvN — теория иногда применяется в качестве конструктивного инструмента, например, для развития фейнмановской диаграммной техники в классической теории возмущений.[8] Однако основная ее ниша в современной науке заключается в реинтерпретации результатов, полученных другими методами с целью прояснения их физического смысла, обобщения и систематизации. Главным образом, это относится к квазиклассическим случаям, для которых теория является удобным дополнительным инструментом изучения соответствия между классическим и квантовым пределами.

Примечания

  1. 1 2 The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer. — Amata Graphics, 2006. — ISBN 0-8218-4219-6
  2. Подробности о результате Стоуна можно узнать из статьи Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве.
  3. Koopman, B. O. "Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space" // Proceedings of the National Academy of Sciences 17 (5), 315 (1931).
  4. Сходные идеи одновременно и независимо разрабатывались Вейлем.
  5. von Neumann, J. "Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik" // Annals of Mathematics 33 (3), 587–642 (1932).
       von Neumann, J. "Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode..."" // Annals of Mathematics 33 (4), 789–791 (1932).
       Collected Works of John von Neumann, Taub, A. H., ed., Pergamon Press, 1963. ISBN 0-08-009566-6
  6. 1 2 3 Mauro, D. (2002). "Topics in Koopman — von Neumann Theory". arXiv:quant-ph/0301172 [quant-ph]. (существует выборочный перевод на русский язык М.Х. Шульмана: [1]).
  7. Liboff R. L. Kinetic theory: classical, quantum, and relativistic descriptions. — Springer, 2003. — ISBN 9780387955513
  8. 1 2 Blasone M., Jizba P., Kleinert H. «Path-integral approach to 't Hooft’s derivation of quantum physics from classical physics» // Physical Review A 71(5), 052507 (2005).
  9. Гришанин Б. А. «Классическая механика в квантовой форме: почему природа „предпочла“ квантовую механику», в книге: Б. А. Гришанин. Избранные работы и воспоминания близких, друзей и коллег (по редакцией В. Н. Задкова и Ю. М. Романовского) — Изд-во МГУ, 2011.
  10. Bondar D.; Cabrera R.; Zhdanov D.; Rabitz H. (2012). «Wigner Function’s Negativity Demystified» // arXiv:1202.3628[quant-ph].

Литература

  • Mauro, D. (2002). «Topics in Koopman — von Neumann Theory». arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph]. (существует выборочный перевод на русский язык М. Х. Шульмана: [2]).
  • John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теория Купмана" в других словарях:

  • ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА — логическая система, в которой высказываниям соответствует непрерывная шкала значений истинности от 0 до 1, причем нуль приписывается высказыванию о невозможном событии, а 1 практически достоверному. В.л. формально можно рассматривать как… …   Философская энциклопедия