- Спинор трёхмерного пространства
-
Спинор трёхмерного пространства
В трехмерном пространстве спинор — ориентированный (поляризованный) изотропный вектор.
Такие величины впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913. Они были вновь открыты в 1929 Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике. Он назвал их спинорами (англ. spin — вращаться).
Спиноры 3-мерного евклидова пространства обладают алгеброй близкой алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона. Именно, с каждым вектором x = (x1, x2, x3) из действительных (или комплексных) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу
Матрицы такой формы обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:
- det X = — (длина x)2.
- X2 = (длина x)2I, где I — единичная матрица.
- где Z — матрица ассоциированная с векторным произведением z = x × y.
- Если u — единичный вектор, то UXU — матрица, ассоциированная с вектором, получаемым из x отражением в плоскости ортогональной u.
- Согласно линейной алгебре любое вращение в 3-мерном пространстве представимо в виде двух отражений. (Сходно, любое меняющее направление ортогональное преобразование есть либо отражение, либо произведение трех (вообще, нечетного числа) отражений.) Таким образом, если R — вращение, представимое в виде двух последовательных отражений в плоскостях перпендикулярных единичным векторам u1 и u2, то матрица U2U1XU1U2 представляет вращение R вектора x.
Имея эффективный способ представления всей геометрии вращений 3-мерного пространства набором комплексных 2×2-матриц, естественно задаться вопросом, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовем спинором вектор-столбец
с комплексными компонентами ξ1 и ξ2. Очевидно, в пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Но здесь есть важное свойство — факторизация вращения не единственна. Ясно, что если X → RXR-1 есть представление вращения, то замена R на -R даст то же самое вращение. На самом деле, можно легко показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.
Литература
- Cartan, Élie The Theory of Spinors. — Dover, 1981. — ISBN 0-486-64070-1
Wikimedia Foundation. 2010.
Спинор — (англ. spin вращаться) специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства. Смысл спинорного описания пространства V построение вспомогательного комплексного… … Википедия
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ — (коммутационные соотношения), фундаментальные соотношения в квант. теории, устанавливающие связь между последоват. действиями на волновую функцию (пли вектор состояния) двух операторов (L^1 и L^2), расположенных в разном порядке (т. е. L^1L^2 и… … Физическая энциклопедия
КЭЛИ - КЛЕЙНА ПАРАМЕТРЫ — комплексные величины, с помощью к рых можно определить положение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. К. К. п. а, Ь связаны с углами Эйлера , , зависимостями (* означает комплексное сопряжение), при этом + … Физическая энциклопедия
Матрицы Паули — Матрицы Паули это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид … Википедия
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ — Введение. Э. ч. в точном значении этого термина первичные, далее неразложимые ч цы, из к рых, по предположению, состоит вся материя. В совр. физике термин «Э. ч.» обычно употребляется не в своём точном значении, а менее строго для наименования… … Физическая энциклопедия
Элементарные частицы — Введение. Э. ч. в точном значении этого термина первичные, далее неразложимые частицы, из которых, по предположению, состоит вся материя. В понятии «Э. ч.» в современной физике находит выражение идея о первообразных сущностях,… … Большая советская энциклопедия