ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ


ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

       
(коммутационные соотношения), фундаментальные соотношения в квант. теории, устанавливающие связь между последоват. действиями на волновую функцию (пли вектор состояния) двух операторов (L^1 и L^2), расположенных в разном порядке (т. е. L^1L^2 и L^2L^1). П. с. определяют алгебру операторов (q-чисел). Если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. L^1L^2=L^2L^1, то соответствующие им физ. величины L1 и L2 могут иметь одновременно определённые значения. Если же их действие в разном порядке отличается числовым фактором (с), т. е. L^iL^2-L^2L^l=c, то между соответствующими физ. величинами имеет место неопределённостей соотношение DL1DL2?1/2?c?, где DL1 и DL2 — неопределённости (дисперсии) измеряемых значений физ. величин L1 и L2. Важнейшими в квант. механике явл. П. с. между операторами обобщённой координата q^ и сопряжённого ей обобщённого импульса р^, q^p^-p^q^=iћ. Если оператор L^ не зависит от времени явно и переставим с гамильтонианом системы Н^, 1. е. L^H^=H^L^, то физ. величина L (а также её ср. значение, дисперсия и т. д.) сохраняет своё значение во времени.
В квант. механике систем тождеств. ч-ц и квант. теории поля фундам. значение имеют П. с. для операторов рождения (а+) и поглощения (а-) ч-ц. Для системы свободных (невзаимодействующих) бозонов оператор рождения ч-цы в состоянии n, а+n и оператор поглощения такой ч-цы an-удовлетворяют П. с. а-n а+n- а+nа-n=1, а для фермионое. a-na+n+a+n a-n=1; последнее П. с. явл. формальным выражением Паули принципа.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. . 1983.

ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

- алгебраич. равенства, к-рым подчинены коммутаторы или антикоммутаторынек-рых матем. величин, в частности величин, встречающихся при формулировкеквантовой теории, напр. операторов квантовой механики. Если А 1 и А 2 - две такие величины, то коммутатором [A12] наз. разность между произведениями A1A2 и А2 А1, т. е. [ А1, А2]= А1 А2 - A2Al. Антикоммутатором{ А1, А2} наз. сумма этих произведений, <т. е. { А1, А2} = А1, А2+ А2 А1. Обычно коммутаторыили антикоммутаторы нек-рой совокупности величин А1, А2,..., А п выражаются посредством П. <с. через линейные комбинации тех же величин. Важнейшие свойства (напр.,допустимые значения) физ. величин А1,...,А п определяютсяименно П. с. и не зависят от представления последних, т. е. от того, какимконкретным способом реализованы величины А1...., А п. Этим объясняется фундам. роль П. с. в квантовой физике.
Если П. с. не включают антикоммутаторов, <т. е. имеют вид [ А j, А k] =15044-24.jpgто П. с. задают нек-рую Ли алгебру, причём числа tjkl наз. <структурными константами соответствующей Ли группы, а величины А1,...,А п- генераторами этой группы. Реализация генераторов А1...,А п самосопряжёнными операторами в гильбертовом пространстве иликонечномерном евклидовом пространстве наз. представлением алгебры Ли. Приведёмнек-рые примеры.
Если все tjkl=0, т. е. если все попарные коммутаторы равны нулю, то соответствующаягруппа наз. абелевой или коммутативной. Тогда в каждом представлении можноодновременно привести генераторы А1, ..., А п кдиагональному виду. Физически это означает, что величины А1...., А п могут иметь одновременно точные значения. Если в числегенераторов есть гамильтониан 15044-25.jpg квантовойсистемы, то в состояниях с фиксиров. энергией 15044-26.jpgвсе др. физ. величины из числа генераторов А1,..., А п также могут принимать вполне определ. значения. Поскольку гамильтониануправляет временной эволюцией системы, все величины А1,..., А п оказываются интегралами движения, т. е. сохраняютсяс течением времени. Так, в задаче о движении частицы в центр. поле попарноперестановочными являются гамильтониан 15044-27.jpgоператор квадрата момента импульса 15044-28.jpgиоператор 15044-29.jpgпроекции момента импульса на к.-л. ось. Поэтому в пространстве состоянийсуществует базис, составленный из собств. векторов сразу трёх операторов:15044-30.jpgЭто позволяет использовать стандартную классификацию состояний частицыс помощью трёх квантовых чисел - главного п, орбитального (азимутального). и магнитного m.
Если n = 3, а А1=15044-31.jpgА 2 =15044-32.jpgА 3 =15044-33.jpg- проекции операторов момента импульса на оси х, у,z, то П. <с. приобретают форму 15044-34.jpgгде 15044-35.jpg -полностью антисимметричный тензор. В этом случае П. с. задают простейшуюнеабелеву алгебру - алгебру Ли группы SU2. Группа SU2 возникает в физике всегда, когда физ. система обладает симметрией поотношению к вращениям трёхмерного пространства. Из П. с. видно, что разл. <проекции момента не перестановочны друг с другом, так что они не имеютодновременно точных значений. К диагональному виду можно привести любой, <но только один из трёх операторов, напр.15044-36.jpgЕго собств. значения дискретны и равны 15044-37.jpgгде т - целое или полуцелое число. Квадрат оператора момента 15044-38.jpgтакже имеет лишь дискретные собств. значения 15044-39.jpgгде l - целое или полуцелое неотрицат. число. При заданном l имеем т = l, l -1, ..., - l. Если l целое, то l и т и являются упомянутыми орбитальным и магнитным квантовыми числами.
Если п =8, а П. с. имеют ту жеформу [ Аj, Аk] =15044-40.jpgно j,k,l =1,2,...,8, то П. с. определяют алгебру Ли группы SU3. Еёгенераторы порождают, напр., "вращения" в пространстве цветов кварка. Поотношению к таким вращениям симметричен гамильтониан квантовой хромодинамики- теории, описывающей сильное взаимодействие элементарных частиц. Физ. <состояния квантовой хромодинамики должны быть "бесцветными", т. е. принадлежатьодномерным (синглетным) представлениям группы SU3.
Пусть п = 3, a A1=15044-41.jpg A2=15044-42.jpg А3=15044-43.jpgгде 15044-44.jpg -единичный оператор, а 15044-45.jpgи 15044-46.jpg- операторы координаты и импульса частицы. Равенство 15044-47.jpg=15044-48.jpg задаётт. н. канонические П. с. для системы с одной степенью свободы. Они определяюталгебру Ли группы Гейзенберга. Из них видно, что координата и импульс немогут принимать одновременно определ. значения. Если 15044-49.jpgи 15044-50.jpg - неопределённостив значениях координаты и импульса, то 15044-51.jpgЭто - частный случай неопределённостей соотношения. Для системыс т степенями свободы, т. е. для системы, гамильтониан к-рой зависитот т операторов обобщённых координат 15044-52.jpg,....15044-53.jpgи от . сопряжённыхэтим координатам импульсов 15044-54.jpgканонич. П. с. имеют вид 15044-55.jpg (здесь выписаны только ненулевые коммутаторы). Вообще, переход от классическогок квантовому описанию физ. системы можно трактовать как замену классических Пуассонаскобок коммутаторами операторов соответствующих величин. Из канонич. <П. с. следует, что каждая пара канонич. переменных qi,pi удовлетворяетсоотношению неопределённостей. В представлении, в к-ром все операторы координатдиагональны [т. е. в представлении, где состояние задаётся волновой ф-цией 15044-56.jpg(q1,...,qm),причём 15044-57.jpg=15044-58.jpg], операторыимпульсов действуют по правилу 15044-59.jpgВ случае конечного числа степеней свободы все др. корректные представленияканонич. П. с. связаны с описанным посредством нек-рого унитарного преобразования, <т. е. эквивалентны ему. Часто вместо координат и импульсов используют операторырождения

15044-60.jpgи уничтожения 15044-61.jpg

П. с. для них принимают форму 15044-62.jpg (выписаны только ненулевые коммутаторы). В случае бесконечного числа степенейсвободы (когда т =15044-63.jpg )разл. <представления канонич. П. с. уже не обязательно эквивалентны друг другу. <Обычно используют Фока представление или представление с вакуумом.
Важнейшие системы с бесконечным числомстепеней свободы - релятивистские квантовые поля. Так, свободное скалярноебезмассовое веществ. поле 15044-64.jpg15044-65.jpgзависящее от времени х 0 и координат х пространств. <точки, задано равенством

15044-66.jpg

(в системе единиц, в к-рой 15044-67.jpg= с=1). Операторные ф-ции a+(k) и a(k) удовлетворяютП. с. [a(k), a+(k')] =15044-68.jpg(k- k'), где 15044-69.jpg(k)- дельта-функция Дирака. С дискретными операторами рождения и уничтожения a+j и а j функции a+(k) и a(k) связаныравенствами

15044-70.jpg

причём {vj(k)}- нек-раяортонормиров. система ф-ций. Свободное поле 15044-71.jpgподчинено след. одновременным П. с.:

15044-72.jpg

где точка означает производную по времени. <Если времена х 0 и х 0' различны, то 15044-73.jpgгде D(x) - перестановочная функция Паули - Иордана. Взаимодействующиеполя обладают только частью свойств свободных полей, выраженных П. с.,они должны быть локально коммутативны, т. е. их коммутаторы должны обращатьсяв нуль в точках, разделённых пространственноподобным интервалом (см. Локальнаякоммутативность). Одновременные П. с. для взаимодействующих полей теряютсмысл в силу Хаага теоремы.
Классич. пример П. с. с участием антикоммутаторовили, как говорят, антиперестановочных соотношений - алгебра Дирака матриц 15044-74.jpg:15044-75.jpg(15044-76.jpg- метрич. тензор,15044-77.jpg15044-78.jpg=0,1,2,3; - g00 = gll = g22 = g33=- 1). Физически существенны только эти алгебраич. равенства, конкретныйвыбор 15044-79.jpg -матрицне играет роли. Антиперестановочным соотношениям удовлетворяет фермионноеспинорное поле 15044-80.jpgНенулевые антикоммутаторы для поля 15044-81.jpgимеют вид

15044-82.jpg

где 15044-83.jpg- дираковски сопряжённый к 15044-84.jpgспинор:15044-85.jpg=15044-86.jpg (15044-87.jpg- эрмитово сопряжённый спинор). В релятивистской квантовой теории используютсятакже П. с., в к-рые входят сразу и антикоммутаторы и коммутаторы физ. <величин. Такие П. с. наз. супералгебрами. Если теория инвариантна относительнопреобразований, образующих нек-рую супералгебру, она наз. суперсимметричнойквантовой теорией поля (см. Суперсимметрия).

Лит.: Боголюбов Н. Н., Ширков Д. <В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Дирак П. А. <М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979.

О. И. Завьялов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ" в других словарях:

  • Перестановочные соотношения —         коммутационные соотношения, фундаментальные соотношения в квантовой механике (См. Квантовая механика), устанавливающие связь между последовательными действиями на волновую функцию (или вектор состояния) двух операторов (L̂1 и L̂2),… …   Большая советская энциклопедия

  • КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ — то же, что (см. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ). Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983. КОММУТАЦИОННЫЕ СООТН …   Физическая энциклопедия

  • НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ СООТНОШЕНИЯ — фундаментальные соотношения квантовой механики, устанавливающие предел точности одноврем. определения канонически сопряжённых динамических переменных, характеризующих квантовую систему: координата импульс, действие угол и т. д. Математически Н. с …   Физическая энциклопедия

  • Коммутационные соотношения —         то же, что Перестановочные соотношения …   Большая советская энциклопедия

  • КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… …   Физическая энциклопедия

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. — КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. Содержание:1. Квантовые поля ................. 3002. Свободные поля и корпускулярно волновой дуализм .................... 3013. Взаимодействие полей .........3024. Теория возмущений ............... 3035. Расходимости и… …   Физическая энциклопедия

  • СУПЕРСИММEТРИЯ — симметрия физ. системы, объединяющая состояния, подчиняющиеся разным статистикам статистике Бозе Эйнштейна (бозоны) и статистике Ферми Дирака (фермионы). Принципиальные основы С. сформулированы в нач. 1970 х гг. в работах [1, 2, 3]. В последующие …   Физическая энциклопедия

  • КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ — в квантовоймеханике квантование на основе гамильтонова(иначе канонич.) формализма, аналогичного гамильтонову формализму классич. механики …   Физическая энциклопедия

  • Квантовая теория поля —          Квантовая теория поля квантовая теория систем с бесконечным числом степеней свободы (полей физических (См. Поля физические)). К. т. п., возникшая как обобщение квантовой механики (См. Квантовая механика) в связи с проблемой описания… …   Большая советская энциклопедия

  • ОПЕРАТОРЫ — в квантовой теории, понятие, широко используемое в матем. аппарате квант. механики и квант. теории поля. О. служат для сопоставления с определ. волновой функцией (или вектором состояния) y другой определ. ф ции (вектора) y . Соотношение между y и …   Физическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.