Свёртка Дирихле

В математике Свертка Дирихле — это бинарная операция, определенная для арифметических функций, используемая в теории чисел. Она была изобретена и исследована немецким математиком Петером Густавом Леженом Дирихле.

Определение

Если f и g — две арифметические функции (то есть функции, отображающие множество натуральных чисел во множество комплексных чисел), то мы можем определить новую функцию $f*g$, называемую сверткой Дирихле функций ƒ и g как

$(f*g)(n) = \sum_{d\mid n} f(d)g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{ab=n}f(a)g(b)$

где сумма берется по всем натуральным делителям d числа n, или, что эквивалентно, по всем парам $(a, b)$ натуральных чисел, произведение которых равно n.

Свойства

Множество арифметических функций по поточечному сложению (то есть функция $f+g$ определяется соотношением $(f+g)(n)=f(n)+g(n)$) и свертке Дирихле образуют коммутативное кольцо, или кольцо Дирихле. Единицей кольца будет функция $\epsilon$ определенная как $\epsilon(n)=1$, если $n=1$ и $\epsilon(n)=0$, если $n>1$. Единицами кольца (то есть обратимыми элементами) являются все функции f такие, что $f(1)\neq 0$.

В частности, свертка Дирихле является^[1] ассоциативной:

$(f*g)*h=f*(g*h),$

дистрибутивной по сложению

$f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f,$

коммутативной,

$f*g=g*f,$

и имеет нейтральный элемент,

$f*\epsilon=\epsilon*f=f.$

Для каждой функции f, для которой $f(1)\neq 0$ существует функция g такая, что $f*g=\epsilon$, называемая обращением Дирихле функции f.

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна, и каждая мультипликативная функция имеет мультипликативное обращение Дирихле. Статья о мультипликативных функциях содержит некоторые сходные соотношения свертки, важные для мультипликативных функций.

Если f — вполне мультипликативная функция, то $f(g*h)=(fg)*(fh)$, где умножение функций определяется как их поточечная композиция.^[2] Свертка двух вполне мультипликативных функций не всегда является вполне мультипликативной.

Примеры

В приведенных ниже формулах используются следующие обозначения

$\epsilon$ — единица по умножению кольца.

1 — это постоянная функция, значения которой равны 1 для всех n. (То есть $1(n)=1$.) Запомните, что 1 — это не единица кольца.

$1_C$, где $C\subseteq\mathbb{Z}$, — индикаторная функция. (То есть $1_C(n)=1$, если $n\in C$, иначе равна нулю)

$\operatorname{Id}$ — тождественная функция (то есть $\operatorname{Id}(n)=n$)

$\operatorname{Id}_k$ — k-я степень тождественной функции. (То есть $\operatorname{Id}_k = n^k.$)

Прочие функции можно найти в статье арифметическая функция.

• $1*\mu=\epsilon$ (обращение Дирихле единичной функции равно функции Мёбиуса.) Отсюда следует, что

• $g=f*1\Leftrightarrow f=g*\mu$ (формула обращения Мёбиуса).

• $\lambda * |\mu|=\epsilon,$ где $\lambda$ — функция Лиувилля.

• $\lambda * 1=1_S,$ где $S=\{1;4;9;16;...\}$ — множество квадратов

• $\sigma_k=\operatorname{Id}_k*1,$ где $\sigma_k(n) =\sum\limits_{d\mid n}d^k$ — сумма k-х степеней делителей числа

• $\sigma=\operatorname{Id}*1,$ где $\sigma=\sigma_1$ — сумма делителей числа n

• $\tau=1*1,$ где $\tau=\sigma_0$ — число делителей числа n

• $\operatorname{Id}=\sigma*\mu$

• $1=\tau*\mu$

• $\tau^3*1=(\tau*1)^2$

• $\varphi*1=\operatorname{Id}.$ — обращение соотношения для функции Эйлера.

• $J_k*1=\operatorname{Id}$

• $(\operatorname{Id}_{s}J_r)*J=J_{s+r}$

• $\sigma=\varphi*\tau.$ Доказательство: выполним свертку обеих частей с 1 в тождестве $\operatorname{Id}=\varphi*1.$

• $\Lambda*1=\ln,$ где $\Lambda$ — функция Мангольдта

Обращение Дирихле

Если задана арифметическая функция f, то её обращение Дирихле $g=f^{-1}$ может быть вычислена рекурсивно (точнее каждое значение $g(n)$ выражается через $g(m)$ для $m<n$) через определение обращения Дирихле

Для $n=1$ $g(1)=f^{-1}(1)$ — определена при $f(1)\neq 0$

И в общем для всех $n>1$

$g(n)=\frac{-1}{f(1)} \sum_\stackrel{d\mid n} {d < n}f\left(\frac{n}{d}\right) g(d).$

$g(n)$ определено, если $f(1)\neq 0$. Таким образом, функция f имеет обращение Дирихле тогда и только тогда, когда $f(1)\neq 0.$

Ряды Дирихле

Если f — арифметическая функция, то можно определить её ряд Дирихле, производящую функцию как

$\operatorname{DG}(f;s) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{f(n)}{n^s}$

для всех таких комплексных аргументов s, для которых ряд сходится. Произведение рядов Дирихле связано с её сверткой Дирихле следующим образом:

$\operatorname{DG}(f;s) \operatorname{DG}(g;s) = \operatorname{DG}(f*g;s)$

для всех s, для которых оба ряда слева сходятся, причем хотя бы один сходится абсолютно (заметим, что просто сходимость обоих рядов слева не влечет сходимость ряда справа!). Это похоже на теорему сходимости если понимать ряд Дирихле как преобразование Фурье.

См. также

• Функция Мёбиуса

Примечания

1. ↑ Proofs of all these facts are in Chan, ch. 2
2. ↑ Доказательство в статьеCompletely multiplicative function#Proof of pseudo-associative property.

Ссылки

• Шаблон:Apostol IANT
• Chan Heng Huat Analytic Number Theory for Undergraduates. — World Scientific Publishing Company, 2009. — ISBN 981-4271-36-5
• Hugh L. Montgomery Multiplicative number theory I. Classical theory. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007. — Vol. 97. — P. 38. — ISBN 0-521-84903-9
• A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion, стр. 13—23.
• Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer, стр. 66—80.
• The number of unitary divisors of an integer, стр. 879—880.
• On an integers' infinitary divisors, стр. 395—411.
• Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer, стр. 373—383.
• (2003) «The Möbius function: generalizations and extensions». Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) 6: 77–128.
• Unitarism and Infinitarism (2004).(недоступная ссылка — история)