- Мультипликативная функция
-
В теории чисел, мультипликативная функция ― арифметическая функция , такая что
-
- для любых взаимно простых чисел и
При выполнении первого условия, требование равносильно тому, что функция не равна тождественно нулю.
Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию , определенную на некотором множестве , такую что
-
- для любых .
В теории чисел такие функции, то есть функции , для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных , называются вполне мультипликативными.
Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если
для всех простых и всех натуральных .
Функция называется вполне мультипликативной тогда и только тогда, когда для любых натуральных выполняется соотношение .
Содержание
Примеры
- Функция ― число натуральных делителей натурального .
- Функция ― сумма натуральных делителей натурального .
- Функция Эйлера .
- Функция Мёбиуса .
- Функция является сильно мультипликативной.
- Степенная функция является вполне мультипликативной.
Свойства
Если — мультипликативная функция, то функция
также будет мультипликативной. Обратно, если функция , определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция также мультипликативна.
Более того, если и — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле
Литература
- Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3
См. также
Категория:- Арифметические функции
-
Wikimedia Foundation. 2010.