Кулонов потенциал

Кулонов потенциал

Ньюто́новым потенциа́лом называют функцию, заданную в \R^3 и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|-1:


V=\frac{1}{|x|}*\rho.

Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ.

Содержание

Объёмный потенциал

Если ρ — интегрируемая функция на некоторой области G и ρ(x)=0, x\in\R^3\setminus\overline{G}. то ньютонов потенциал, называемый объемным потенциалом можно выразить через интеграл


V(x)=\iiint\limits_G\frac{\rho(y)}{|x-y|}dy

О гладкости потенциала можно сказать следующее. Если ρ ∈ C(G), то V(x) ∈ C1(ℝ3) и ΔV(x) = 0 при x\R^3\setminus\overline{G}.

Потенциал простого слоя

Вместо области G теперь рассматривается ограниченная кусочно-гладкая поверхность с нормалью n, μ — непрерывная функция на S. Ньютоновым потенциалом простого слоя называется свёртка


V^{(0)}=\frac{1}{|x|}*\mu\delta_S

или в интегральном виде:


V^{(0)}(x)=\iint\limits_S\frac{\mu(y)}{|x-y|}dS_y,

Потенциал простого слоя гармоничен вне области S, является непрерывным всюду в ℝ3 и в бесконечно удаленной точке стремится к нулю. Кроме того, если Sповерхность Ляпунова, то на ней наблюдается разрыв нормальной производной потенциала простого слоя:


\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_+=-2\pi\mu(S)+\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_S,

\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_-=2\pi\mu(S)+\frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\Bigg| _S,

где индексы «+» и «-» обозначают соответственно внешнюю и внутреннюю производные на S.

В случае постоянной плотности μ и поверхности Ляпунова потенциал простого слоя равен:


V^{(0)}(x)=\begin{cases}
4\pi\mu\frac{R^2}{|x|},\ |x|\geqslant R, \\
4\pi\mu R,\ |x|<R.
\end{cases}

Потенциал двойного слоя

Полностью аналогично потенциалу простого слоя вводится ньютоновский потенциал двойного слоя:


V^{(1)}(x)=-\frac{1}{|x|}*\frac{\partial}{\partial\mathbf{n}}(\nu\delta_S)= \iint\limits_S\nu(y)\frac{\partial}{\partial\mathbf{n}_y}\frac{1}{|x-y|}dS_y= \iint\limits_S\mu\frac{\cos\varphi}{|x-y|^2}dS_y,

где φ — угол между нормалью к поверхности S в точке y и радиус-вектором, направленном из точки x в точку y.

Потенциал двойного слоя непрерывен в замыкании области, ограничиваемой поверхностью S, непрерывен вне этой области и непрерывен на самой поверхности S, если она является поверхностью Ляпунова, однако при переходе через поверхность S он претерпевает разрыв:


V^{(1)}_+(S)=2\pi\nu(S)+V^{(1)}(S),

V^{(1)}_-(S)=-2\pi\nu(S)+V^{(1)}(S).

На бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

В случае постоянной плотности ν и поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя равен:


V^{(1)}(x)=\begin{cases}
0,\ x\in\R^3\setminus\overline{G}, \\
-2\pi\nu,\ x\in S, \\
-4\pi\nu,\ x\in G.
\end{cases}

Физический смысл ньютоновских потенциалов

Так как потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона, он может быть создан массами или зарядами, распределенными в пространстве с плотностью ρ. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают потенциал простого слоя; если же на поверхности сосредоточены диполи, то это потенциал двойного слоя.

См. также

Литература

В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Ссылки

Потенциал в Большой советской энциклопедии


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Кулонов потенциал" в других словарях:

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — ур ния, описывающие матем. модели физ. явлений. Теория этих моделей (математическая физи к а) занимает промежуточное положение между физикой и математикой. При построении моделей используют физ. законы, однако методы исследования полученных ур… …   Физическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф. у. часть предмета математической физики. Многие явления физики и механики (гидро и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой… …   Математическая энциклопедия

  • Конденсатор электрический — прибор, служащий для скопления на поверхности небольшого объема вещества большого количества электричества без значительного повышения при этом напряжения электричества в теле. Одно и то же количество электричества, будучи придано различным телам …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Конденсатор, электрический — прибор, служащий для скопления на поверхности небольшого объема вещества большого количества электричества без значительного повышения при этом напряжения электричества в теле. Одно и то же количество электричества, будучи придано различным телам …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Конденсатор — (электр.) наз. прибор, служащий для скопления наповерхности небольшого объема вещества большого количества электричествабез значительного повышения при этом напряжения электричества в теле.Одно и то же количество электричества, будучи придано… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  • Электрохимия* — Содержание: Введение. Историческая справка. Обозначения, принятые в Э. Основные законы и принципы. Перенос ионов. Электропроводность растворов. Электровозбудительная сила. Переход химической энергии в электрическую. Классификация гальванических… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Электрохимия — Содержание: Введение. Историческая справка. Обозначения, принятые в Э. Основные законы и принципы. Перенос ионов. Электропроводность растворов. Электровозбудительная сила. Переход химической энергии в электрическую. Классификация гальванических… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ЯДРО АТОМНОЕ — центральная массивная часть атома, состоящая из протонов и нейтронов (нуклонов). Масса Я. а. примерно в 4 •103 раз больше массы всех входящих в состав атома эл нов. Размеры Я. а. составляют = 10 12 10=13 см. Электрич. заряд положителен и по абс.… …   Физическая энциклопедия

  • АДСОРБЦИЯ — (от лат. ad на, при и sorbeo поглощаю), изменение (обычно повышение) концентрации в ва вблизи пов сти раздела фаз ( поглощение на пов сти ). В общем случае причина А. нескомпенсированность межмол. сил вблизи этой пов сти, т. е. наличие адсорбц.… …   Химическая энциклопедия

  • НЕЙТРОН — (англ. neutron, от лат. neuter ни тот, ни другой) (n), электрически нейтральная элем. ч ца со спином 1/2 и массой, незначительно превышающей массу протона; относится к классу адронов и входит в группу барионов. Из протонов и Н. построены все ядра …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»