Автоморфизм Фробениуса

Автоморфизм Фробениуса — автоморфизм конечного поля $\mathbb{F}_{q^m}$ над полем $\mathbb{F}_{q}$, где q - степень простого числа. Автоморфизм Фробениуса задается формулой $x\mapsto x^q$. Группа автоморфизмов $\mathbb{F}_{q^m}$ над $\mathbb{F}_{q}$ носит также название группы Галуа поля $\mathbb{F}_{q^m}$ над $\mathbb{F}_{q}$. Группа Галуа $\mathbb{F}_{q^m}$ над $\mathbb{F}_{q}$ является циклической, а значит поле $\mathbb{F}_{q^m}$ является циклическим расширением поля $\mathbb{F}_{q}$.

Свойства

• Автоморфизм Фробениуса $\sigma$ является автоморфизмом: $\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$.
• Автоморфизмы $\sigma^j$ переводят любой элемент $\alpha$ в ему сопряженные
• Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля $\mathbb{F}_q$.
• Если $f$ - многочлен степени m над $\mathbb{F}_q$, то он имеет корень $\alpha$ в $\mathbb{F}_{q^m}$ и все его m корней $\alpha_j$ получаются применением m раз автоморфизма Фробениуса к $\alpha$: $\alpha_j=\sigma_j(\alpha)$.
• Поскольку $(\forall f\in \mathbb{F}_{q^m}) f^{q^m}=f$, $\sigma^m=1$, а все автоморфизмы $\sigma,\sigma^2,...\sigma^m$ различны. Также, автоморфизмы $\sigma,\sigma^2,...\sigma^m$ исчерпывают все возможные автоморфизмы $\mathbb{F}_{q^m}$ над $\mathbb{F}_{q}$, так что группа Галуа $Gal(\mathbb{F}_{q^m},\mathbb{F}_{q})$ является циклической с образующим элементом $\sigma_1$.

Литература

• Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.

См. также

• Конечное поле
• Группа Галуа
• Первообразный корень
• Многочлен над конечным полем